8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 250-255-258-259. Cevapları Sonuç Yayınları
Pisagor Bağıntısı Cevapları
5. Ünite Üçgenler: Bu bölümde dik üçgenlerde hipotenüs ile dik kenarlar arasındaki a²+b²=c² bağıntısını öğreniyor, bu bağıntıyı kullanarak günlük hayattan problemlerde bilinmeyen kenar uzunluklarını ve iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplıyoruz.
İçindekiler
8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 250 Cevapları Sonuç Yayınları
Sayıların filozofu olarak bilinen Pisagor, her şeyin sayılarla ilişkili olduğunu belirtmiştir. Pisagor, üçgenlerin bilinmeyen kenar uzunluklarının bilinen kenar uzunluklarından faydalanarak bulunmasına yönelik bir bağıntı oluşturmuştur. Üçgenlerin kenar uzunluklarını bulmaya yönelik çalışmalar yapan diğer bilim insanlarını araştırınız.
Kısa Cevap: Üçgen kenarlarıyla ilgili çalışan diğer bilim insanları Öklid ve El-Harezmi’dir.
Cevap:
Üçgenlerin kenar uzunluklarıyla ilgili çalışmalar yapan bilim insanlarından bazıları Öklid ve El-Harezmi’dir.
Öklid, üçgenlerin kenar ve açı ilişkilerini incelemiştir.
El-Harezmi ise cebirsel yöntemlerle geometrik problemleri çözmüştür.
Etkinlik
Araç Gereçler: A4 kağıdı, kareli kağıt, makas, pembe, mavi, sarı ve turuncu boya kalemleri.
Kareli kağıda, alanları sırasıyla 25 cm², 16 cm² ve 9 cm² olan üç farklı kare çiziniz.
Kısa Cevap: Kenar uzunlukları 5 cm, 4 cm ve 3 cm olan üç kare çizildi.
Cevap:
Alanları 25 cm², 16 cm² ve 9 cm² olan karelerin kenar uzunlukları sırasıyla 5 cm, 4 cm ve 3 cm’dir.
Kareleri sırasıyla pembe, mavi ve sarıya yandaki gibi boyayınız.
Pembe, mavi ve sarı kareleri, makas kullanarak kesiniz (Makas kullanırken dikkatli olunuz.).
Pembe, mavi ve sarı karelerin kenarlarını yandaki gibi kullanarak A4 kağıdının üzerine yerleştiriniz. Kenarlarla oluşturduğunuz üçgeni yandaki gibi turuncuya boyayınız. Turuncu üçgen, bir dik üçgen olabilir mi? Açıklayınız.
Kısa Cevap: Evet, 3-4-5 cm kenarlı turuncu üçgen bir dik üçgendir.
Cevap:
Turuncu üçgenin kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm’dir. Pisagor bağıntısının sağlanıp sağlanmadığına bakalım.
3² + 4² = 9 + 16 = 25 ve 5² = 25 olduğundan iki taraf eşittir.
Çünkü karelerin kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olup 3² + 4² = 5² olduğundan Pisagor bağıntısı sağlanmaktadır.
Sonuç: Turuncu üçgen bir dik üçgendir.
Kareli kağıda alanları sırasıyla 49 cm², 36 cm² ve 9 cm² olan üç farklı kare çiziniz.
Kısa Cevap: Kenar uzunlukları 7 cm, 6 cm ve 3 cm olan üç kare çizildi.
Cevap:
Alanları 49 cm², 36 cm² ve 9 cm² olan karelerin kenar uzunlukları sırasıyla 7 cm, 6 cm ve 3 cm’dir.
Kareleri sırasıyla pembe, mavi ve sarıya boyayınız.
Pembe, mavi ve sarı kareleri, makas kullanarak kesiniz (Makas kullanırken dikkatli olunuz.).
Pembe, mavi ve sarı karelerin kenarlarını kullanarak bir dik üçgen elde edebilir misiniz? Açıklayınız.
Kısa Cevap: Hayır, 3-6-7 cm kenarlarıyla dik üçgen oluşturulamaz.
Cevap:
Karelerin kenar uzunlukları 7 cm, 6 cm ve 3 cm’dir.
3² + 6² = 9 + 36 = 45 fakat 7² = 49’dur; 45 ≠ 49 olduğundan Pisagor bağıntısı sağlanmaz.
Sonuç: Bu karelerle bir dik üçgen oluşturulamaz.
8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 255 Cevapları Sonuç Yayınları
Problem
Bir fırtınada zarar gören 5 m uzunluğundaki bir ağacın gövdesi yerden 240 cm yükseklikten kırılmış ve kırılan bölüm gövdeden tam olarak kopmayarak eğik bir şekilde görseldeki gibi toprağa değmiştir.
Buna göre ağacın toprakta olan gövdesi ile kırılarak toprağa değdiği yer arasındaki uzaklık kaç cm’dir?
Kısa Cevap: Ağacın toprakta kalan gövdesi ile toprağa değdiği nokta arası 100 cm’dir.
Cevap:
Ağaç 5 m, yani 500 cm’dir. Kırılma noktası yerden 240 cm yükseklikte olduğundan kırılan (eğik duran) kısmın uzunluğu:
500 − 240 = 260 cm’dir.
Toprakta dik duran gövde (240 cm), eğik kısım (260 cm, hipotenüs) ve aranan uzaklık (x) bir dik üçgen oluşturur.
260² = 240² + x²
67 600 = 57 600 + x²
x² = 67 600 − 57 600 = 10 000
x = 100 cm
Sonuç: 100 cm
8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 258 Cevapları Sonuç Yayınları
Alıştırmalar
1) Aşağıdaki dik üçgenlerde verilen kenar uzunluklarına göre x, y ve z değerlerini bulunuz.
Kısa Cevap: a) x = 17 br, b) y = 3√21 br, c) z = 10√2 br.
Cevap:
a) Dik üçgende Pisagor bağıntısı kullanılır. 15 br ve 8 br dik kenarlardır.
15² + 8² = x²
225 + 64 = x²
289 = x²
x = 17 br
b) 15 br hipotenüstür, 6 br bir dik kenardır.
6² + y² = 15²
36 + y² = 225
y² = 189
y = 3√21 br
c) Dik üçgende iki kenar eşittir.
10² + 10² = z²
100 + 100 = z²
200 = z²
z = 10√2 br
2) Bir firma, reklam balonunu kullanarak tanıtım yapmaya karar vermiştir ve firma, yanda verilen reklam balonunu görseldeki gibi zemine sabitlemiştir. Yanda verilenlere göre reklam balonunun zeminden yüksekliği (x) kaç cm’dir?
Kısa Cevap: Reklam balonunun zeminden yüksekliği x = 360 cm’dir.
Cevap:
Balonu tutan iki ip eşit uzunlukta (450 cm) olduğundan balonun tam altındaki nokta, ipin dik izdüşüm ayağı, zemindeki aralığı ortadan ikiye böler — yani sol taraf da tıpkı görselde işaretli sağ taraf (270 cm) kadardır. Dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanır:
450² = x² + 270²
202 500 = x² + 72 900
x² = 202 500 − 72 900 = 129 600
x = √129 600 = 360 cm
3) Eşref, geometri tahtasında turuncu lastikle yandaki dik üçgen modelini oluşturmuştur. Eşref’in oluşturduğu dik üçgen modelindeki hipotenüsün uzunluğu kaç birimdir?
Kısa Cevap: Dik üçgen modelindeki hipotenüs √41 birimdir.
Cevap:
Dik kenarlar 5 br ve 4 br’dir.
Pisagor’a göre:
x² = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
x = √41 br
8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 259 Cevapları Sonuç Yayınları
4) Yandaki şekilde KLM, KMN ve KNP, birer dik üçgendir. |MN| = 4√2 cm, |KL| = |LM| = 4 cm, |NP| = 6 cm ve |KP| = x cm olduğuna göre x kaçtır?
Kısa Cevap: KP uzunluğu x = 10 cm’dir.
Cevap:
Verilenler:
- KL = 4 cm
- LM = 4 cm
- MN = 4√2 cm
- NP = 6 cm
KLM dik üçgeni
KM² = 4² + 4² = 32
KM = 4√2 cm
KMN dik üçgeni
KN² = (4√2)² + (4√2)² = 32 + 32 = 64
KN = 8 cm
KNP dik üçgeni
KP² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
KP = 10 cm
5) Aşağıda kenar uzunlukları verilen dikdörtgen ve karelerin köşegen uzunluklarını bulunuz.
Kısa Cevap: a) √73 cm, b) 6√2 cm, c) 5√2 cm.
Cevap:
a) Kenarlar: 3 cm ve 8 cm
Köşegen² = 3² + 8² = 9 + 64 = 73
Köşegen = √73 cm
b) Kare (kenar = 6 cm)
Köşegen² = 6² + 6² = 72
Köşegen = 6√2 cm
c) Kare (kenar = 5 cm)
Köşegen² = 5² + 5² = 50
Köşegen = 5√2 cm
6) Koordinat düzleminde A(-2, 3) ile B(0, -1) noktalarının arasındaki uzaklığı bulunuz.
Kısa Cevap: A ile B noktaları arasındaki uzaklık 2√5 birimdir.
Cevap:
Uzaklık = √[(0 − (−2))² + (−1 − 3)²]
Uzaklık = √[2² + (−4)²]
Uzaklık = √(4 + 16) = √20 = 2√5
7) |KL| = 5 cm, |LM| = 5 cm ve |KM| = 5√2 cm olan bir KLM üçgeninin dik üçgen olup olmadığını belirleyiniz.
Kısa Cevap: Evet, KLM üçgeni bir dik üçgendir.
Cevap:
Verilenler:
KL = 5 cm
LM = 5 cm
KM = 5√2 cm
Pisagor kontrolü yapılır:
5² + 5² = 25 + 25 = 50
(5√2)² = 50
Eşitlik sağlandığı için KLM üçgeni dik üçgendir.
