8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 86-88. Cevapları Sonuç Yayınları
Kareköklü Bir İfade ile Çarpıldığında Sonucu Doğal Sayı Yapan Çarpanlar Cevapları
2. Ünite Kareköklü İfadeler: Kareköklü bir ifadeyi hangi sayılarla çarptığımızda sonucun doğal sayı çıkacağını buluyor, kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırıp eksik kalan çarpanı tamamlayarak örnekler üretiyoruz.
İçindekiler
8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 86 Cevapları Sonuç Yayınları
Bir belediye, bir parkın yanına dikdörtgen şeklinde yürüyüş yolu yapıyor. Yürüyüş yolunun uzun kenar uzunluğu 40√3 m ve alanı m² biriminde bir doğal sayıdır. Buna göre yürüyüş yolunun kısa kenar uzunluğu belirlenirken nasıl bir yol izlenebilir? Açıklayınız.
Kısa Cevap: Kısa kenar, uzun kenardaki √3’ü yok edecek şekilde k√3 (k doğal sayı) biçiminde seçilmelidir.
Cevap:
Uzun kenar L = 40√3 m, kısa kenar x m olsun.
Alan: A = L · x = 40√3 · x
A’nın doğal sayı olması için 40√3 · x ifadesindeki √3’ün etkisi yok olmalıdır.
Bunun için x = k·√3 (k ∈ ℕ) alınır.
O halde
A = 40√3 · (k√3) = 40 · 3 · k = 120k
Bu değer her k için doğal sayıdır.
Örnekler:
k = 1 ⇒ x = √3 m, A = 120 m²
k = 2 ⇒ x = 2√3 m, A = 240 m²
Not: Eğer alanın belli bir doğal sayı m olması istenirse kısa kenar x = m / (40√3) = (m√3) / 120 şeklinde verilir.
8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 88 Cevapları Sonuç Yayınları
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki kareköklü ifadelerle çarpıldığında sonucu bir doğal sayı olan çarpanlara dörder örnek veriniz.
Kısa Cevap: a) √30, b) √3, c) √17 ve ç) √19 ile çarpıldığında dört ifade de sonucu doğal sayı yapar.
Cevap:
a) √120 → 120 = 4 × 30 → tam kare elde etmek için √30 ile çarpılır.
Örnek çarpanlar: √30, √120, √480, √1080
(Çünkü: √120 × √30 = √3600 = 60)
b) √300 → 300 = 100 × 3 → tam kare elde etmek için √3 ile çarpılır.
Örnek çarpanlar: √3, √12, √27, √48
(√300 × √3 = √900 = 30)
c) 2√17 → sonucu doğal sayı yapmak için √17 ile çarpılır.
Örnek çarpanlar: √17, 2√17, 3√17, 4√17
(2√17 × √17 = 34)
ç) 5√19 → √19 ile çarpılırsa doğal sayı olur.
Örnek çarpanlar: √19, 2√19, 3√19, 4√19
(5√19 × √19 = 95)
2. Aşağıdaki işlemlerin sonuçları birer doğal sayıdır. Buna göre işlemlerdeki sembollerin yerine yazılabilecek en küçük pozitif tam sayıları belirleyiniz.
Kısa Cevap: En küçük değerler sırasıyla △=22, □=15, ◇=10 ve ▽=1’dir.
Cevap:
a) √88 · 9√△ = 9√(88×△)
Doğal sayı olması için 88×△ tam kare olmalı.
88 = 4×22 → kalan 22’yi tamamlamak için △ = 22 alınır.
Doğrulama:
√1936 = 44 olduğundan sonuç doğal sayıdır.
Sonuç: △ = 22
b) √60 · 2√□ = 2√(60×□)
60 = 4×15 → kalan 15’i tamamlamak için □ = 15 alınır.
Doğrulama:
√900 = 30 olduğundan sonuç doğal sayıdır.
Sonuç: □ = 15
c) 7√◇ · √10 = 7√(◇×10)
◇×10 tam kare olmalı. En küçük tam kare 100 → ◇ = 10
Sonuç: ◇ = 10
ç) √324 · √▽ = √(324×▽)
324 = 18² olduğundan zaten tam karedir → ▽ = 1
Sonuç: ▽ = 1
3. Yandaki UVYZ dikdörtgeninin alanı m² biriminde bir doğal sayıdır. Buna göre UVYZ dikdörtgeninin kısa kenar uzunluğunun metre biriminde alabileceği değerlere üç örnek veriniz.
(UV = 10√7 m)
Kısa Cevap: Kısa kenar k√7 (k doğal sayı) biçiminde seçilirse alan her zaman doğal sayı çıkar.
Cevap:
UV = 10√7 m
Alanın doğal sayı olması için kısa kenar da √7 ile çarpılmış bir sayı olmalıdır.
Yani kısa kenar x = k√7 (k doğal sayı)
Örnekler:
k = 1 → x = √7 m
k = 2 → x = 2√7 m
k = 3 → x = 3√7 m
4. Öğrencilerin belirttiği ifadelerden hangisi, √800 ile çarpıldığında işlemin sonucu bir doğal sayı olur?
Kısa Cevap: Zeynep’in belirttiği √32 ifadesi doğrudur.
Cevap:
√800 ile çarpıldığında sonucu doğal sayı olan ifade bulunacak.
√800 = √(16×50) = 4√50 = 20√2
Her biriyle çarpalım:
Elif: √27 = 3√3 → 20√2 × 3√3 = 60√6 → irrasyonel
Zeynep: √32 = 4√2 → 20√2 × 4√2 işlemine bakalım. Önce katsayıları çarpalım:
80 × (√2 × √2) = 80 × 2:
Sonuç 160, yani doğal sayı
Mert: √125 = 5√5 → 20√2 × 5√5 = 100√10 → irrasyonel
Sonuç: Zeynep’in belirttiği √32 ifadesi doğrudur.
