7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 128-129-130-131 Cevapları
Dikdörtgenler Prizmasının Açınımı ve Yüzey Alanı Cevapları
2. Tema- Geometrik Nicelikler (1): Açınım oyununda hangi açınımların kapandığını buluyor, hediye kutusuyla yüzey alanı bağıntısını çıkarıyor, kare prizma ile küpün dikdörtgenler prizmasının özel durumları olduğunu görüp yüzey alanı hesaplıyoruz.
İçindekiler
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 128 Cevapları Birinci Kitap
Düşün-tartış-açıkla 1
1. Açınım:
2. Açınım:
3. Açınım:
4. Açınım:
5. Açınım:
Yukarıdaki yüzey açınımlarını eş kareli kağıtlara çizen beş öğrenci bir oyun oynamaya karar vermiş ve oyunun kurallarını aşağıdaki şekilde belirlemiştir:
- Çizdiği açınımı kapatabilen öğrenci 5 puan alır.
- Kapanan bir açınımda çakışacak iki kenarı doğru tahmin eden öğrenci 3 puan alır.
- Kapanan bir açınımda karşılıklı gelecek iki yüzü doğru tahmin eden öğrenci 2 puan alır.
- Oyun sonunda en fazla puanı alan kişi oyunu kazanır.
Kuralları belirleyen öğrencilerin çizdikleri açınımlar ile diğer açınımlar hakkındaki tahminleri aşağıdaki gibidir:
- Beste, birinci açınımı çizmiş ve 4. açınımda gri yüzlerin karşılıklı olacağını söylemiştir.
- Atakan, ikinci açınımı çizmiş ve 2. açınımda mavi kenarların çakışacağını öne sürmüştür.
- Ceyda, üçüncü açınımı çizmiş ve 3. açınımda yeşil yüzlerin karşılıklı olacağını söylemiştir.
- Kaan, dördüncü açınımı çizmiş ve 5. açınımda sarı yüzlerin karşılıklı olacağını tahmin etmiştir.
- Helin, beşinci açınımı çizmiş ve 2. açınımda kırmızı kenarların çakışacağını ifade etmiştir.
Buna göre her öğrencinin oyun sonundaki puanını ve oyunu kazanan kişileri aşağıdaki kutucuğa yazınız.
Kısa Cevap:
Beste: 0 puan
Atakan: 5+3 = 8 puan
Ceyda: 0 puan
Kaan: 2 puan
Helin: 5+3 = 8 puan
Oyunu 8’er puanla Atakan ve Helin kazanır.
Cevap: Önce hangi açınımların kapandığını belirleriz. Dikdörtgenler prizmasının açınımında yan yana dizilen 4 yüz, karşılıklı yüzler eş olduğu için dar-geniş-dar-geniş sırasıyla dizilmelidir. Kalan iki yüzden biri bu şeridin üstüne, diğeri altına eklenmelidir.
1. açınım: İki kapak yüzü de şeridin üst tarafındadır. Katlanınca ikisi üst üste gelir, alt taraf açık kalır; kapanmaz.
2. açınım: Şerit dar-geniş sırasına uygundur, kapaklardan biri üstte biri alttadır; kapanır.
3. açınım: İki geniş yüz yan yana gelmiştir. Geniş yüzler kutuda karşılıklı olduğu için yan yana olamaz; katlanınca yüzler üst üste biner, kapanmaz.
4. açınım: Üstteki gri yüz 2×1, alttaki gri yüz 1×3 boyutundadır. Açınımda 2×1’lik ikinci kapak yerine fazladan 1×3’lük bir yüz vardır; kapanmaz.
5. açınım: Şerit dar-geniş sırasına uygundur, kapaklardan biri üstte biri alttadır; kapanır.
Buna göre puanlar şöyledir:
Beste: Çizdiği 1. açınım kapanmadığı için 5 puan alamaz. Tahmini 4. açınımla ilgilidir; 4. açınım kapanmadığı için (üstelik gri yüzlerin boyutları farklıdır) bu tahminden de puan alamaz. Toplam 0 puan.
Atakan: Çizdiği 2. açınım kapandığı için 5 puan alır. Mavi kenarlar, üstteki kapak yüzünün sol kenarı ile yanındaki dar yüzün üst kenarıdır; kapak katlanınca bu iki kenar üst üste gelir. Tahmini doğrudur, 3 puan daha alır. Toplam 5+3 = 8 puan.
Ceyda: Çizdiği 3. açınım kapanmadığı için puan alamaz. Tahmini de kapanmayan 3. açınımla ilgili olduğundan puan getirmez. Toplam 0 puan.
Kaan: Çizdiği 4. açınım kapanmadığı için 5 puan alamaz. 5. açınımdaki sarı yüzler şeritte aralarında bir yüz olacak biçimde dizilmiştir, katlanınca karşılıklı gelir. Tahmini doğrudur, 2 puan alır. Toplam 2 puan.
Helin: Çizdiği 5. açınım kapandığı için 5 puan alır. Kırmızı kenarlar, 2. açınımdaki şeridin en sol ve en sağ kenarlarıdır; şerit katlanınca bu iki kenar birleşir. Tahmini doğrudur, 3 puan daha alır. Toplam 5+3 = 8 puan.
| Öğrenci | Açınımı Kapatma | Tahmin | Toplam Puan |
|---|---|---|---|
| Beste | 0 | 0 | 0 |
| Atakan | 5 | 3 | 8 |
| Ceyda | 0 | 0 | 0 |
| Kaan | 0 | 2 | 2 |
| Helin | 5 | 3 | 8 |
En fazla puanı 8’er puanla Atakan ve Helin almıştır, oyunu ikisi birlikte kazanır.
Bilgi Kutusu
- Bir dikdörtgenler prizmasının 6 yüzü vardır ve yüzey açınımı toplam 6 dikdörtgenden oluşur.
- Dikdörtgenler prizmasının birden fazla yüzey açınımı elde edilebilir.
Aşağıda karşılıklı yüzleri aynı renklerden oluşan dikdörtgenler prizmasının bazı açınımları verilmiştir.
Bu açınımlardaki aynı renkli yüzler birbirine eştir ve açınım kapatıldığında karşılıklı konumlanır.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 129 Cevapları Birinci Kitap
Düşün-tartış-açıkla 2
Yusuf Öğretmen, arkadaşı için aldığı hediyeyi ayrıt uzunlukları 20 cm, 25 cm, 30 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutuya yerleştirecek ve kutunun tamamını hediye paketi kağıdı ile sınıfta kaplayacaktır. Öğretmen, öğrencilerine elinde sınırlı miktarda paket kağıdı olduğunu söylemiş ve paket kağıdını en verimli şekilde nasıl kullanabileceğiyle ilgili bazı sorular sormuştur.
Buna göre Yusuf Öğretmen’in öğrencilerine sorduğu aşağıdaki soruları siz de cevaplayarak düşüncelerinizi yazınız.
1) Kutuyu kaplamak için gereken en az kağıt miktarını nasıl belirleyebileceğinizi arkadaşlarınızla tartışarak düşüncelerinizi yazınız.
Kısa Cevap: Kutunun 6 yüzünün alanları tek tek bulunup toplanır; bu toplam, kutuyu boşluk kalmadan ve kağıt üst üste binmeden kaplamak için gereken en az kağıt miktarıdır.
Cevap: Kutuyu kağıtla kaplarken hiç boşluk kalmaması ve kağıdın üst üste binmemesi gerekir; bu yüzden gereken en az kağıt miktarı kutunun tüm yüzeyini tam olarak karşılamalıdır. Bunun için önce kutunun 6 yüzünün (2 taban, 2 ön-arka, 2 yan yüz) her birinin alanı ayrı ayrı hesaplanır, sonra bu 6 alan toplanır. Çıkan toplam, Yusuf Öğretmen’in en az kaç cm² kağıda ihtiyacı olduğunu gösterir.
2) Kutuyu kaplamak için ihtiyaç duyulan en az kağıt miktarı ile kutunun yüzlerinin alanları arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
Kısa Cevap: Gereken en az kağıt miktarı, kutunun 6 yüzünün alanlarının toplamına, yani kutunun yüzey alanına eşittir.
Cevap: Kutuyu kaplamak için gereken en az kağıt miktarı, kutunun 6 yüzünün alanlarının toplamı olan yüzey alanına tam olarak eşittir. Kağıt bundan az olursa kutunun bir kısmı açıkta kalır, fazla olursa kağıt israf edilir; bu yüzden en verimli kullanım, tam olarak yüzey alanı kadar kağıt kesmektir.
3) Dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun yüzey alanını hesaplayabilmek için bilinmesi gereken yüzlerinin alanlarını belirleyiniz. Tüm yüzlerin alanlarından yararlanarak dikdörtgenler prizmasının yüzey alanını nasıl hesaplayabileceğinizi açıklayınız.
Kısa Cevap: Karşılıklı yüzler eş olduğu için 3 farklı yüzün alanı bilinmelidir: 20.25 = 500 cm², 20.30 = 600 cm² ve 25.30 = 750 cm². Her biri ikişer kez toplanır: 2.(500+600+750) = 3700 cm².
Cevap: Dikdörtgenler prizmasının 6 yüzü, ikişer ikişer eş olan 3 çift yüzden oluşur. Bu yüzden 3 farklı dikdörtgenin alanını bilmek yeterlidir; her biri karşılıklı yüzünde bir kez daha tekrar eder.
Birinci yüz çifti: 20.25 = 500 cm²
İkinci yüz çifti: 20.30 = 600 cm²
Üçüncü yüz çifti: 25.30 = 750 cm²
Farklı üç yüzün alanları toplamı: 500+600+750 = 1850 cm²
Her yüz iki kez bulunduğu için yüzey alanı: 2.1850 = 3700 cm²
Yusuf Öğretmen’in kutuyu kaplamak için en az 3700 cm² hediye paketi kağıdına ihtiyacı vardır.
Bilgi Kutusu
- Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı, tüm yüzlerinin alanları hesaplandıktan sonra bu alanların toplanması ile elde edilir.
- Eş yüzleri aynı renklerle gösterilen ve yüzey açınımı verilen bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı aşağıdaki gibi hesaplanabilir.
A(ABCD) + A(EFGH) = a · c + a · c
A(ADHE) + A(BCGF) = a · b + a · b
A(DCGH) + A(ABFE) = b · c + b · c
Tüm yüzey alanı A ile gösterilirse
A = 2 · a · c + 2 · a · b + 2 · b · c
= 2 · (a · b + a · c + b · c)
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 130 Cevapları Birinci Kitap
Düşün-tartış-açıkla 3
Aşağıda Şermin, Ege ve Mesut’un etkinlik için sınıfa getirdikleri kutular hakkındaki karşılıklı konuşmaları verilmiştir.
Şermin: Ege biliyor musun bugün yapacağımız etkinlik için getireceğim kutuyu ararken dolaptaki şurup kutusu dikkatimi çekti. Derste kullandığımız dikdörtgenler prizmalarına benziyordu fakat karşılıklı iki yüzü kare olduğu için o kutuyu getirmedim.
Ege: Aslında getirebilirdin Şermin çünkü daha önce karenin de özel bir dikdörtgen olduğunu öğrenmiştik. Bu nedenle şurup kutusu da bir dikdörtgenler prizması olabilir diye düşünüp şurup kutusu getirdim.
Mesut: Ben de karenin özel bir dikdörtgen olduğunu hatırladığım için tüm yüzleri kare olan yani küp şeklinde bir kutu getirdim. Bence hepimizin getirdiği kutular dikdörtgenler prizmasına örnek olabilir.
Konuşmalara göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1) Şermin, şurup kutusunu getirmemekle doğru bir karar vermiş midir? Düşüncelerinizi gerekçeleriyle açıklayınız.
Kısa Cevap: Hayır, doğru bir karar vermemiştir. Kare özel bir dikdörtgen olduğu için karşılıklı iki yüzü kare olan şurup kutusu da bir dikdörtgenler prizmasıdır, bu kutuyu getirebilirdi.
Cevap: Şermin’in kararı doğru değildir. Kare, kenar uzunlukları eşit olan özel bir dikdörtgendir; bu yüzden karşılıklı iki yüzü kare olan bir kutu da yine bir dikdörtgenler prizmasıdır. Şermin’in “karşılıklı iki yüzü kare olduğu için dikdörtgenler prizması değildir” diye düşünmesi yanlıştır, şurup kutusunu rahatlıkla getirebilirdi.
2) Ege ve Mesut’un düşüncelerinin doğru olup olmadığını gerekçeleriyle açıklayınız.
Kısa Cevap: İkisinin düşüncesi de doğrudur. Kare özel bir dikdörtgen olduğu için hem iki yüzü kare olan şurup kutusu hem de tüm yüzleri kare olan küp birer dikdörtgenler prizmasıdır.
Cevap: Ege’nin düşüncesi doğrudur: kare özel bir dikdörtgen olduğu için karşılıklı iki yüzü kare olan şurup kutusu da bir dikdörtgenler prizmasıdır. Mesut’un düşüncesi de doğrudur: tüm yüzleri kare olan küp, aslında tüm ayrıtları eşit olan en özel dikdörtgenler prizmasıdır. İkisi de kareyi özel bir dikdörtgen olarak düşünüp bu sonuca doğru bir şekilde ulaşmıştır.
3) Kare prizma, küp ve dikdörtgenler prizması arasında nasıl bir ilişki olduğunu arkadaşlarınızla tartışarak düşüncelerinizi yazınız.
Kısa Cevap: Kare prizma ve küp, dikdörtgenler prizmasının özel durumlarıdır. Kare prizmanın tabanları karedir; küpün ise tüm yüzleri karedir, yani küp aynı zamanda özel bir kare prizmadır.
Cevap: Kare, tüm kenarları eşit olan özel bir dikdörtgen olduğu için, tabanı kare olan bir prizma (kare prizma) da özel bir dikdörtgenler prizmasıdır. Küp ise tüm yüzleri (dolayısıyla tüm ayrıtları) eşit olan en özel durumdur; hem kare prizmanın hem dikdörtgenler prizmasının özel bir halidir. Genelden özele doğru sıralarsak: dikdörtgenler prizması en genel grup, kare prizma onun içinde tabanı kare olan özel bir grup, küp de kare prizmanın içinde tüm ayrıtları eşit olan en özel durumdur.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 131 Cevapları Birinci Kitap
Bilgi Kutusu
Kare prizma ve küp dikdörtgenler prizmasının özel durumlarıdır.
Örneğin aşağıda karşılıklı yüzleri aynı renk olan bir kare prizma ile bir küpün bazı yüzey açınımları ve yüzey alan bağıntıları verilmiştir.
Kare Prizma
Kare prizmanın yüzey alanı = 2 . a² + 4 . a . b
Küp
Küpün yüzey alanı = 6 . a²
Uygulayalım 1
Aşağıda verilen dikdörtgenler prizmalarının yüzey açınımlarını yanlarındaki kareli alanlara çiziniz ve yüzey alanlarını cm² cinsinden hesaplayınız.
a)
b)
c)
Kısa Cevap:
a) 2.(20.30 + 20.10 + 30.10) = 2.(600+200+300) = 2200 cm²
b) 2.12² + 4.12.15 = 288+720 = 1008 cm²
c) 6.10² = 6.100 = 600 cm²
Cevap:
a) Kareli alanda 1 birim 5 cm alınarak açınım çizilir: 20 cm’lik ayrıt 4, 30 cm’lik ayrıt 6, 10 cm’lik ayrıt 2 birimdir.
Üst ve alt yüzlerin her biri 20.30 = 600 cm², ön ve arka yüzlerin her biri 20.10 = 200 cm², yan yüzlerin her biri 30.10 = 300 cm²’dir.
Yüzey alanı: 2.(600+200+300) = 2.1100 = 2200 cm²
b) Taban ayrıtları 12 cm, yüksekliği 15 cm olan bir kare prizmadır. Kareli alanda 1 birim 3 cm alınarak açınım çizilir: 12 cm’lik ayrıt 4, 15 cm’lik ayrıt 5 birimdir.
Bir taban 12.12 = 144 cm², bir yan yüz 12.15 = 180 cm²’dir.
Yüzey alanı: 2.a² + 4.a.b = 2.144 + 4.180 = 288 + 720 = 1008 cm²
c) Tüm ayrıtları 10 cm olan bir küptür. Kareli alanda 1 birim 5 cm alınarak açınım çizilir: 10 cm’lik ayrıt 2 birimdir.
Bir yüzün alanı 10.10 = 100 cm², küpün 6 eş yüzü olduğundan yüzey alanı: 6.a² = 6.100 = 600 cm²
