7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 132-133 Cevapları
Dikdörtgenler Prizmasının Açınımı ve Yüzey Alanı Neler Öğrendik Cevapları
2. Tema- Geometrik Nicelikler (1): Hatalı açınımları bulup düzeltiyor, verilen açınımlardan yüzey alanı hesaplıyor, doğru-yanlış sorularını çözüyor, marangozun tahta bloklarından kurulacak sandığın ve ahşap blokların yüzey alanlarını buluyoruz.
İçindekiler
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 132 Cevapları Birinci Kitap
Neler Öğrendik?
1) Aşağıdaki yüzey açınımlarından bazıları kare prizma, küp ve dikdörtgenler prizmasına aittir; bazıları ise hatalı verilmiştir.
Doğru yüzey açınımlarında boş bırakılan kutucuğu “✓” ile işaretleyiniz. Hatalı yüzey açınımlarında yeri yanlış olan yüzlerin doğru yerlerini oklarla göstererek açınımları düzeltiniz.
1. açınım:
2. açınım:
3. açınım:
4. açınım:
5. açınım:
6. açınım:
7. açınım:
8. açınım:
Kısa Cevap:
1. açınım: Doğru ✓ (küp)
2. açınım: Hatalı; iki kapak yüzü de şeridin altındadır, biri şeridin üstüne taşınmalıdır.
3. açınım: Doğru ✓ (dikdörtgenler prizması)
4. açınım: Doğru ✓ (kare prizma)
5. açınım: Doğru ✓ (kare prizma)
6. açınım: Doğru ✓ (küp)
7. açınım: Hatalı; 7 kare vardır, küpün 6 yüzü olduğu için bir kare fazladır.
8. açınım: Hatalı; iki kapak yüzü de şeridin üstündedir, biri şeridin altına taşınmalıdır.
Cevap: Bir açınımın doğru olması için tam 6 yüzden oluşması gerekir. Yan yana dizilen 4 yüzlük şeritte karşılıklı yüzler eş olmalı; kalan iki yüzden (kapaklardan) biri şeridin üstüne, diğeri altına eklenmelidir.
1. açınım: 6 eş kare 3-3 zikzak biçiminde dizilmiştir, katlanınca küp olur. Doğru ✓
2. açınım: Tabanları 2×2 kare olan bir kare prizmanın açınımı olmalıdır. Şerit doğru dizilmiş ama iki kapak yüzü de şeridin altına eklenmiştir; katlanınca ikisi alt tarafta üst üste gelir, üst taraf açık kalır. Hatalı. Soldan ikinci yüzün altındaki kapak, aynı yüzün üstüne taşınarak açınım düzeltilir:
3. açınım: Şerit 2-3-2-3 birimlik yüzlerden oluşur, kapaklardan biri üstte biri alttadır; katlanınca dikdörtgenler prizması olur. Doğru ✓
4. açınım: Dört eş dikdörtgen yüz alt alta dizilmiş, 2×2’lik iki kare yüz ikinci yüzün iki yanına eklenmiştir; katlanınca kare prizma olur. Doğru ✓
5. açınım: Şerit 3-2-3-2 birimlik yüzlerden oluşur, kapaklardan biri üstte biri alttadır; katlanınca tabanları 3×3 kare olan bir kare prizma olur. Doğru ✓
6. açınım: 4 karelik sütunun iki yanında birer kare vardır, katlanınca küp olur. Doğru ✓
7. açınım: 4 karelik satır ile 4 karelik sütun kesişerek 7 kare oluşturmuştur. Küpün 6 yüzü olduğu için bir kare fazladır. Hatalı. Örneğin en soldaki kare çıkarılırsa 4 karelik sütunun iki yanında birer kare kalır ve açınım düzelir:
8. açınım: Şerit 2-3-2-3 birimlik yüzlerden oluşur ama iki kapak yüzü de şeridin üstüne eklenmiştir; katlanınca üst taraf iki kez kapanır, alt taraf açık kalır. Hatalı. Sağdaki kapak, altındaki yüzün alt kenarına taşınarak açınım düzeltilir:
2) Aşağıda açınımları verilen dikdörtgenler prizmalarının yüzey alanlarının kaç cm² olduğunu ayrı ayrı hesaplayınız ve her birinin toplam yüzey alanını bulunuz.
a)
b)
c)
Kısa Cevap:
a) Taban alanları 3.3 = 9 cm², yan yüzler 3.10 = 30 cm²; yüzey alanı 2.9 + 4.30 = 18 + 120 = 138 cm²
b) Yüzler 10.10 = 100 cm², 5.10 = 50 cm² ve 10.5 = 50 cm²; yüzey alanı 2.(100+50+50) = 400 cm²
c) Her yüz 4.4 = 16 cm²; yüzey alanı 6.16 = 96 cm²
Cevap:
a) Taban ayrıtı 3 cm, yüksekliği 10 cm olan bir kare prizmadır. İki kare tabanın her biri 3.3 = 9 cm², dört yan yüzün her biri 3.10 = 30 cm²’dir.
Yüzey alanı: 2.9 + 4.30 = 18 + 120 = 138 cm²
b) Ayrıtları 10 cm, 5 cm ve 10 cm olan bir dikdörtgenler prizmasıdır. Şeritteki geniş yüzlerin her biri 10.10 = 100 cm², dar yüzlerin her biri 5.10 = 50 cm², kapak yüzlerinin her biri 10.5 = 50 cm²’dir.
Yüzey alanı: 2.100 + 2.50 + 2.50 = 200 + 100 + 100 = 400 cm²
c) Tüm ayrıtları 4 cm olan bir küptür. Her yüzün alanı 4.4 = 16 cm²’dir.
Yüzey alanı: 6.16 = 96 cm²
3) Dikdörtgenler prizmalarının yüzey alanları ile ilgili aşağıdaki ifadeleri inceleyiniz. Doğru ifadelerin başına “D”, yanlış ifadelerin başına “Y” yazınız.
a) ( ) Bir küpün açınımının çevre uzunluğu 42 cm ise bu küpün yüzey alanı 54 cm²dir.
b) ( ) Bir dikdörtgenler prizmasının yüzlerinden üç tanesinin alanları 20 cm², 30 cm² ve 40 cm² ise dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı 90 cm²dir.
c) ( ) Bir kare prizmanın tabanının çevre uzunluğu 48 cm ve tabana ait yüksekliği 20 cm ise yüzey alanı 1200 cm²dir.
ç) ( ) Bir küpün tüm ayrıtlarının uzunlukları toplamı 60 cm ise yüzey alanı 150 cm²dir.
d) ( ) Ayrıt uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanının ölçüsü her zaman çift tam sayıdır.
Kısa Cevap:
- a) (D) Bir küpün açınımının çevre uzunluğu 42 cm ise bu küpün yüzey alanı 54 cm²dir.
- b) (Y) Bir dikdörtgenler prizmasının yüzlerinden üç tanesinin alanları 20 cm², 30 cm² ve 40 cm² ise dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı 90 cm²dir.
- c) (Y) Bir kare prizmanın tabanının çevre uzunluğu 48 cm ve tabana ait yüksekliği 20 cm ise yüzey alanı 1200 cm²dir.
- ç) (D) Bir küpün tüm ayrıtlarının uzunlukları toplamı 60 cm ise yüzey alanı 150 cm²dir.
- d) (D) Ayrıt uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanının ölçüsü her zaman çift tam sayıdır.
Cevap:
a) Doğru: Küpün açınımındaki 6 kare 5 ortak kenarla birbirine bağlıdır; açınımın çevresi 6.4 – 2.5 = 14 kenar uzunluğu kadardır. Bir ayrıt 42:14 = 3 cm, yüzey alanı 6.3² = 6.9 = 54 cm²‘dir.
b) Yanlış: Dikdörtgenler prizmasının karşılıklı yüzleri eştir; alanları farklı olan bu üç yüzün her birinin eşi de vardır. Yüzey alanı 2.(20+30+40) = 2.90 = 180 cm²‘dir, 90 cm² değildir.
c) Yanlış: Taban çevresi 48 cm ise taban ayrıtı 48:4 = 12 cm’dir. Yüzey alanı 2.12² + 4.12.20 = 2.144 + 4.240 = 288 + 960 = 1248 cm²‘dir, 1200 cm² değildir.
ç) Doğru: Küpün 12 eş ayrıtı vardır. Bir ayrıt 60:12 = 5 cm, yüzey alanı 6.5² = 6.25 = 150 cm²‘dir.
d) Doğru: Yüzey alanı A = 2.(a.b + a.c + b.c) bağıntısıyla bulunur. Ayrıtlar tam sayı olduğunda parantezin içi bir tam sayıdır, bu tam sayının 2 katı da her zaman çift sayıdır.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 133 Cevapları Birinci Kitap
4) Bir marangozun atölyesindeki numaralandırılmış dikdörtgen tahta bloklar aşağıda verilmiştir.
Marangoz bu tahtaları kullanarak dikdörtgenler prizması şeklinde bir sandık yapmak istediğine göre marangozun yapabileceği sandığın yüzey alanının kaç cm² olduğunu bulunuz.
(Kareli zeminde bir karenin kenar uzunluğu 3 cm’dir.)
Yüzey alanı = …… cm²
Kısa Cevap: Eş bloklar 1 ile 7 (12 cm × 15 cm), 2 ile 8 (12 cm × 18 cm) ve 4 ile 6’dır (15 cm × 18 cm); 3 ve 5 numaralı bloklar kullanılmaz. Yüzey alanı = 2.(180+216+270) = 1332 cm²
Cevap: Blokların kenarları kare sayılarak ölçülür ve 3 ile çarpılarak cm’ye çevrilir:
| Blok | Kare Sayısı | Ölçüler (cm) |
|---|---|---|
| 1 | 4 × 5 | 12 × 15 |
| 2 | 6 × 4 | 18 × 12 |
| 3 | 8 × 6 | 24 × 18 |
| 4 | 5 × 6 | 15 × 18 |
| 5 | 6 × 7 | 18 × 21 |
| 6 | 6 × 5 | 18 × 15 |
| 7 | 5 × 4 | 15 × 12 |
| 8 | 4 × 6 | 12 × 18 |
Dikdörtgenler prizmasının karşılıklı yüzleri eş olduğu için bloklar eş olanlarla eşleştirilir: 1 ve 7 (12 cm × 15 cm), 2 ve 8 (12 cm × 18 cm), 4 ve 6 (15 cm × 18 cm). 3 ve 5 numaralı blokların eşi olmadığı için sandıkta kullanılamaz. Bu üç çift, ayrıtları 12 cm, 15 cm ve 18 cm olan bir sandık oluşturur.
Yüz alanları: 12.15 = 180 cm², 12.18 = 216 cm², 15.18 = 270 cm²
Yüzey alanı = 2.(180+216+270) = 2.666 = 1332 cm²
5) Bir marangoz atölyesinde taban ayrıt uzunlukları 36 cm, yükseklikleri 72 cm olan kare prizma şeklinde iki ahşap blok bulunmaktadır. Bu ahşap bloklardan biri görseldeki gibi tam ortadan kesilmiş ve küp şeklinde iki eş ahşap blok elde edilmiştir. Kare prizma şeklindeki blok ile küp şeklindeki bloklar mobilya yapımında kullanılacağı için koruyucu malzeme ile kaplanacaktır.
a) Kare prizma ve küp şeklindeki ahşap blokların kaplanabilmesi için gereken en az malzeme miktarını cm² cinsinden hesaplayınız.
Kısa Cevap: Kare prizma 2.36² + 4.36.72 = 12 960 cm², iki küp 2.(6.36²) = 15 552 cm²’dir. Toplam en az 12 960 + 15 552 = 28 512 cm² malzeme gerekir.
Cevap: Kare prizma bloğu: Taban ayrıtı 36 cm, yüksekliği 72 cm’dir. Bir taban 36.36 = 1296 cm², bir yan yüz 36.72 = 2592 cm²’dir.
Yüzey alanı: 2.1296 + 4.2592 = 2592 + 10 368 = 12 960 cm²
Küp bloklar: Blok tam ortadan kesilince yüksekliği 72:2 = 36 cm olur, taban ayrıtına eşit olduğu için her parça ayrıtı 36 cm olan bir küptür. Bir küpün yüzey alanı 6.1296 = 7776 cm², iki küpünki 2.7776 = 15 552 cm²‘dir.
Toplam malzeme: 12 960 + 15 552 = 28 512 cm²
b) Küp şeklindeki eş blokları kaplamak için kullanılan toplam malzeme miktarı ile kare prizma şeklindeki bloğu kaplamak için kullanılan malzeme miktarı eşit midir? Eşit değilse bu farkın sebebi nedir? Düşüncelerinizi yazınız.
Kısa Cevap: Eşit değildir. Küpler için 15 552 – 12 960 = 2592 cm² daha fazla malzeme gerekir; çünkü kesim yapılınca her iki küpte 36.36 = 1296 cm²’lik yeni bir yüz açığa çıkar (2.1296 = 2592 cm²).
Cevap: Küplerin toplam malzemesi 15 552 cm², kare prizmanınki 12 960 cm²’dir; eşit değildir, aradaki fark 15 552 – 12 960 = 2592 cm²‘dir.
Bunun sebebi kesme işlemidir: Kare prizma tek parçayken kesim yapılan yüzey bloğun içindeydi ve kaplanması gerekmiyordu. Blok ortadan kesilince bu yüzey her iki parçada da dışarıya açılan yeni bir yüz haline gelir. Kesim yüzünün alanı 36.36 = 1296 cm² olduğundan iki parçada 2.1296 = 2592 cm² fazladan kaplanacak yüzey ortaya çıkar. Bu da bulduğumuz farka eşittir.
