7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 138-139-140 Cevapları
Dikdörtgenler Prizmasının Hacim Bağıntısını Elde Etme Cevapları
2. Tema- Geometrik Nicelikler (1): Cam kabı farklı nesnelerle doldurup birim küpü tanıyor, prizmayı farklı yönlerden katmanlara ayırarak birim küpleri tek tek saymadan hacmin ayrıtların çarpımı olduğunu buluyoruz.
İçindekiler
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 138 Cevapları Birinci Kitap
Dikdörtgenler Prizmasının Hacim Bağıntısını Elde Etme
Düşün-tartış-açıkla 7
Aşağıda dikdörtgenler prizması şeklindeki cam bir kap Görsel 1’de verilmiştir. Bu kap, olabildiğince az boşluk bırakılarak dikdörtgenler prizması şeklindeki özdeş kutularla; hiç boşluk bırakılmadan küp şeklindeki özdeş kutularla Görsel 2 ve Görsel 3’teki gibi doldurulmuştur.
a) Cam kabın hacmini belirlerken farklı nesneler kullanıldığında farklı sonuçlara ulaşılmasının sebebi nedir? Arkadaşlarınızla tartışarak düşüncelerinizi yazınız.
Kısa Cevap: Kullanılan nesnelerin büyüklükleri farklı olduğu ve dikdörtgen kutular arasında boşluk kalabildiği için aynı kaba sığan nesne sayıları farklı çıkar.
Cevap: Görsel 2’deki dikdörtgen kutular kaba tam oturmayabilir, aralarında ve kabın kenarlarında boşluklar kalabilir. Görsel 3’teki küp şeklindeki kutular ise birbirine boşluksuz bitişerek kabı tam doldurur. Ayrıca kullanılan nesnelerin büyüklüğü farklı olduğundan aynı kaba sığan nesne sayısı da değişir. Bu yüzden farklı nesnelerle yapılan ölçümler farklı sonuçlar verir.
b) Cam kabın hacminin belirlenmesi için hangi nesnenin daha uygun birim olduğunu yazınız.
Kısa Cevap: Kabı hiç boşluk bırakmadan dolduran küp şeklindeki kutular (Görsel 3) daha uygun birimdir.
Cevap: Hacim ölçümünde birim olarak seçilen nesnenin kabı boşluk bırakmadan tam doldurması gerekir. Görsel 3’teki küp şeklindeki kutular kabı hiç boşluk kalmadan doldurduğu için hacmi belirlemek için daha uygun birimdir. Görsel 2’deki dikdörtgen kutularda olduğu gibi aralarda boşluk kalırsa ölçüm gerçek hacmi tam göstermez.
Bilgi Kutusu
- Ayrıt uzunluklarının her biri 1 birim olan küplere birim küp denir.
- Bir prizmanın içini boşluk kalmayacak şekilde dolduran birim küplerin sayısına dikdörtgenler prizmasının birim küp cinsinden hacmi denir.
Uygulayalım 2
Aşağıda ayrıt uzunlukları verilen prizmalar boşluk kalmayacak şekilde birim küplerle doldurulduğunda hacimlerinin kaç birimküp olacağını bulunuz.
a)
b)
Kısa Cevap:
a) Bir katta 6.4 = 24 birim küp, 5 kat vardır: 24.5 = 120 birimküp
b) Bir katta 10.8 = 80 birim küp, 5 kat vardır: 80.5 = 400 birimküp
Cevap:
a) Prizmanın tabanına bir kat birim küp dizildiğinde bir sırada 6, 4 sıra olmak üzere 6.4 = 24 birim küp olur. Yükseklik 5 br olduğu için 5 kat vardır. Hacim 24.5 = 120 birimküp‘tür.
b) Tabana dizilen bir katta 10.8 = 80 birim küp olur. Yükseklik 5 br olduğu için 5 kat vardır. Hacim 80.5 = 400 birimküp‘tür.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 139 Cevapları Birinci Kitap
Düşün-tartış-açıkla 8
Ahmet, Ceren ve Mehmet Şekil 1’deki dikdörtgenler prizmasının içinde kaç adet birim küp olduğunu belirlemek için aşağıdaki gibi farklı yöntemler kullanmışlardır:
Şekil 1:
(Şekil 2’de 1. Yöntem (Ahmet): birim küpler prizmanın tabanına bir katman olarak dizilmiştir. Şekil 3’te 2. Yöntem (Ceren): birim küpler prizmanın sol yüzüne bir katman olarak dizilmiştir. Şekil 4’te 3. Yöntem (Mehmet): birim küpler prizmanın ön yüzüne bir katman olarak dizilmiştir.)
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1) Ahmet, birim küpleri Şekil 2’deki gibi tabana dizerek bir katman oluşturmuştur. Bu prizmayı tamamen doldurduğunda prizmanın içinde aynı biçimde toplam kaç katman olacağını bulunuz.
Kısa Cevap: Prizmanın yüksekliği 3 birim küp olduğu için toplam 3 katman olur.
Cevap: Şekil 1’deki prizmada üst üste 3 sıra birim küp vardır. Bu yüzden Ahmet’in tabana dizdiği 10 birim küplük katman yukarı doğru 3 kez tekrarlanarak prizmayı tam doldurur. Toplam katman sayısı 3‘tür.
2) Ceren ve Mehmet farklı yöntemler uygulayarak Şekil 3 ve Şekil 4’teki gibi katmanlar elde etmişlerdir. Bu şekilleri inceleyerek aşağıdaki tabloyu doldurunuz ve prizmanın içine yerleştirilen birim küp sayısının kullanılan yönteme göre değişip değişmediğini açıklayınız.
| Kullanılan Yöntem | Prizmada İlk Katmanda Bulunan Birim Küp Sayısı | Toplam Katman Sayısı | Prizmaya Yerleştirilen Toplam Birim Küp Sayısı |
|---|---|---|---|
| 1. Yöntem | 10 | 3 | 30 |
| 2. Yöntem | …… | …… | …… |
| 3. Yöntem | …… | …… | …… |
Kısa Cevap:
2. Yöntem: 6 birim küp, 5 katman, 6.5 = 30 birim küp
3. Yöntem: 15 birim küp, 2 katman, 15.2 = 30 birim küp
Prizmaya yerleştirilen birim küp sayısı yönteme göre değişmez.
Cevap: Ceren sol yüze 2.3 = 6 birim küplük bir katman dizmiştir; prizmanın eni 5 birim küp olduğu için 5 katman olur. Mehmet ön yüze 5.3 = 15 birim küplük bir katman dizmiştir; prizmanın derinliği 2 birim küp olduğu için 2 katman olur.
| Kullanılan Yöntem | Prizmada İlk Katmanda Bulunan Birim Küp Sayısı | Toplam Katman Sayısı | Prizmaya Yerleştirilen Toplam Birim Küp Sayısı |
|---|---|---|---|
| 1. Yöntem | 10 | 3 | 30 |
| 2. Yöntem | 6 | 5 | 30 |
| 3. Yöntem | 15 | 2 | 30 |
Üç yöntemde katmandaki küp sayısı ve katman sayısı farklı olsa da çarpımları (10.3, 6.5, 15.2) hep 30’dur. Bu yüzden prizmaya yerleştirilen birim küp sayısı kullanılan yönteme göre değişmez.
3) Dikdörtgenler prizmasının içine yerleştirilen toplam birim küp sayısına birim küpleri saymadan nasıl ulaşabilirsiniz? Arkadaşlarınızla tartışınız ve ulaştığınız sonuçları yazarak açıklayınız.
Kısa Cevap: Bir katmandaki birim küp sayısını toplam katman sayısıyla çarparak birim küpleri tek tek saymadan toplam sayıya ulaşabiliriz.
Cevap: Herhangi bir yüze dizilen bir katmandaki birim küp sayısını bulup bu sayıyı o yüze dik yöndeki katman sayısıyla çarparsak, tek tek saymadan toplam birim küp sayısına ulaşırız. Tablodaki üç yöntem de bunu doğrular: hangi yönden katmanlara ayırırsak ayıralım (10.3, 6.5, 15.2) sonuç hep 30 çıkar.
4) Aşağıdaki tabloyu verilen örnekteki gibi doldurunuz. Toplam birim küp sayısı ile dikdörtgenler prizmasının ayrıt uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyiniz ve dikdörtgenler prizmasının hacmini ayrıt uzunluklarını kullanarak nasıl ifade edebileceğinizi yazınız.
| Öğrenci | Prizmada Birim Küpler Yerleştirilen Yüzün İki Dik Ayrıtından Birincisinin Uzunluğu (br) | Prizmada Birim Küpler Yerleştirilen Yüzün İki Dik Ayrıtından İkincisinin Uzunluğu (br) | Prizmada Birim Küpler Yerleştirilen Yüze Dik Olan Ayrıtın Uzunluğu (br) | Toplam Birim Küp Sayısı |
|---|---|---|---|---|
| Ahmet | 5 | 2 | 3 | 30 |
| Ceren | …… | …… | …… | …… |
| Mehmet | …… | …… | …… | …… |
Kısa Cevap:
Ceren: 2 br, 3 br, 5 br, 30 birim küp
Mehmet: 5 br, 3 br, 2 br, 30 birim küp
Toplam birim küp sayısı üç ayrıt uzunluğunun çarpımına eşittir; dikdörtgenler prizmasının hacmi ayrıt uzunluklarının çarpımıyla bulunur.
Cevap: Ceren’in birim küpleri yerleştirdiği sol yüzün dik ayrıtları 2 br ve 3 br, bu yüze dik olan ayrıt 5 br’dir. Mehmet’in birim küpleri yerleştirdiği ön yüzün dik ayrıtları 5 br ve 3 br, bu yüze dik olan ayrıt 2 br’dir.
| Öğrenci | Prizmada Birim Küpler Yerleştirilen Yüzün İki Dik Ayrıtından Birincisinin Uzunluğu (br) | Prizmada Birim Küpler Yerleştirilen Yüzün İki Dik Ayrıtından İkincisinin Uzunluğu (br) | Prizmada Birim Küpler Yerleştirilen Yüze Dik Olan Ayrıtın Uzunluğu (br) | Toplam Birim Küp Sayısı |
|---|---|---|---|---|
| Ahmet | 5 | 2 | 3 | 30 |
| Ceren | 2 | 3 | 5 | 30 |
| Mehmet | 5 | 3 | 2 | 30 |
Üç ayrıt uzunluğu (5, 2, 3) hangi sırayla çarpılırsa çarpılsın sonuç 30’dur: 5.2.3 = 2.3.5 = 5.3.2 = 30. Buna göre dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç ayrıt uzunluğunun çarpımına eşittir.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 140 Cevapları Birinci Kitap
5) Yandaki görselde verilen dikdörtgenler prizmasındaki birim küpleri saymak oldukça zordur ve uzun zaman alacaktır. Bu sebeple dikdörtgenler prizmasının hacmini ayrıt uzunluklarından faydalanarak birimküp cinsinden nasıl hesaplarsınız?
Kısa Cevap: Ayrıtlar boyunca dizili birim küpleri sayarak üç ayrıt uzunluğunu buluruz. Tabana ait iki dik ayrıtı çarparak bir katmandaki küp sayısını, bunu da yükseklikle çarparak hacmi hesaplarız.
Cevap: Tek tek saymak yerine prizmanın üç ayrıtı boyunca kaç birim küp dizildiğini sayarız. Tabana ait iki dik ayrıtın uzunluklarını çarparak tabandaki bir katmanın birim küp sayısını (taban alanını) buluruz, sonra bu sayıyı yükseklikle çarparız. Yani hacim = (tabana ait birinci dik ayrıt . tabana ait ikinci dik ayrıt) . yükseklik biçiminde, üç ayrıt uzunluğunun çarpımıyla birimküp cinsinden hesaplanır.
Bilgi Kutusu
Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi = (a . b) . c
Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi = (b . c) . a
Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi = (a . c) . b
Dikdörtgenler prizmasının hacmi hesaplanırken önce tabana ait iki dik ayrıtın uzunlukları çarpılır ve “taban alanı” bulunur sonra bu taban alanı ile yükseklik çarpılır.
Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi = (Tabana ait birinci dik ayrıt . Tabana ait ikinci dik ayrıt) . Yükseklik
= Taban Alanı . Yükseklik
Prizmanın ayrıtları boyunca yerleştirilen birim küpler uzunluk ölçme birimi olmamalarına rağmen ayrıtların uzunlukları hakkında fikir verirler. Tabana dizilen birim küplerle oluşturulan bir katmandaki birim küp sayısı da taban alanının hesaplanmasına yardımcı olur.
Birim küplerin uzunluk ve alan ölçmede kullanılmamalarına rağmen bu ölçüler hakkında nasıl bilgi verdiklerini açıklayınız.
Kısa Cevap: Bir ayrıt boyunca dizilen birim küplerin sayısı o ayrıtın kaç birim uzunluğunda olduğunu, tabandaki bir katmanın birim küp sayısı da taban alanının kaç birim kare olduğunu gösterir.
Cevap: Birim küpler doğrudan bir uzunluk ya da alan birimi değildir. Ancak bir ayrıt boyunca kaç birim küp dizildiğini saydığımızda bu sayı o ayrıtın kaç birim uzunluğunda olduğunu gösterir, çünkü her birim küpün ayrıtı 1 birimdir. Aynı şekilde tabana dizilen birim küplerin oluşturduğu bir katmandaki küp sayısı, her küpün tabanı 1 birim kare olduğu için taban alanının kaç birim kare olduğunu gösterir. Yani birim küpler, sayıları sayesinde uzunluk ve alan hakkında bilgi verir.
