7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 141-142 Cevapları
Dikdörtgenler Prizmasının Hacim Bağıntısını Elde Etme Cevapları
2. Tema- Geometrik Nicelikler (1): On sekiz eş küple farklı prizmalar kuruyor, görünümleri verilen yapıların kaç küpten oluştuğunu buluyor, kare prizma ile küpün hacmini dikdörtgenler prizmasının bağıntısıyla hesaplıyoruz.
İçindekiler
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 141 Cevapları Birinci Kitap
Katıl-uygula-keşfet 5
Eş Küplerle Dikdörtgenler Prizmaları Oluşturuyorum
Malzemeler: eş küpler
Sınıfa getirdiğiniz eş küplerden 18 adedini kullanarak birbirinden farklı dikdörtgenler prizmaları oluşturunuz. Oluşturduğunuz dikdörtgenler prizmalarıyla ilgili aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) 18 adet eş küp kullanarak kaç farklı dikdörtgenler prizması elde edersiniz? Elde ettiğiniz dikdörtgenler prizmalarının farklı ayrıt uzunluklarını belirleyerek aşağıya yazınız.
Kısa Cevap: 4 farklı dikdörtgenler prizması elde edilir. Ayrıt uzunlukları:
1 br, 1 br, 18 br
1 br, 2 br, 9 br
1 br, 3 br, 6 br
2 br, 3 br, 3 br
Cevap: 18 sayısı üç doğal sayının çarpımı olarak dört farklı şekilde yazılabilir: 18 = 1.1.18 = 1.2.9 = 1.3.6 = 2.3.3. Her çarpan üçlüsü, ayrıt uzunlukları farklı bir dikdörtgenler prizmasını gösterir. Bu yüzden 18 eş küple 4 farklı dikdörtgenler prizması oluşturulabilir.
b) Oluşturduğunuz birbirinden farklı dikdörtgenler prizmalarının şekilleri değişse de hacimlerinin değişip değişmediğini arkadaşlarınızla tartışınız. Ulaştığınız sonuçları gerekçeleriyle yazınız.
Kısa Cevap: Hacimleri değişmez; prizmaların şekilleri farklı olsa da hepsi aynı 18 eş küpten oluştuğu için hepsinin hacmi 18 birimküptür.
Cevap: Dört prizmanın ayrıt uzunlukları farklıdır ama hepsi aynı 18 eş küple oluşturulduğu için hacimleri değişmez, hepsinin hacmi 18 birimküptür. Bu, hacmin prizmanın şekline değil, prizmayı dolduran eş küplerin sayısına bağlı olduğunu gösterir.
Katıl-uygula-keşfet 6
Farklı Görünümlerde Eşit Hacimli Yapılar
Malzemeler: eş küpler, yönleri içeren kağıt (Ek 1)
Aşağıda üstten ve önden görünümleri verilen üç yapı verilmiştir. Bu yapıların hacimlerinin eşit olduğu ve yapılardan birinin dikdörtgenler prizması olduğu bilinmektedir.
1. Yapı Önden:
1. Yapı Üstten:
2. Yapı Önden:
2. Yapı Üstten:
3. Yapı Önden:
3. Yapı Üstten:
Verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Yapıların kaç adet eş küpten oluştuklarını belirleyiniz.
Kısa Cevap: Dikdörtgenler prizması olan 1. Yapıdır ve 3.3.2 = 18 küpten oluşur. Hacimler eşit olduğu için 2. ve 3. Yapılar da 18’er eş küpten oluşur.
Cevap: Önden ve üstten görünümlere göre yapılar tamamen dolu olsaydı 1. Yapıda 3.3.2 = 18, 2. Yapıda 3.3.3 = 27, 3. Yapıda 3.3.4 = 36 küp olurdu.
1. Yapı en fazla 18 küp alabildiği için yapıların ortak hacmi 18’den büyük olamaz. 2. veya 3. Yapı dikdörtgenler prizması olsaydı ortak hacim 27 ya da 36 olurdu ve 1. Yapı bu kadar küp alamazdı. Bu yüzden dikdörtgenler prizması olan yapı 1. Yapıdır ve üç yapı da 18’er eş küpten oluşur. 2. ve 3. Yapılarda önden ve üstten görünmeyen yerlerde boşluklar vardır. Örneğin:
1. Yapı (dikdörtgenler prizması, 18 küp):
2. Yapı (arka sırada 3’er, orta sırada 2’şer, ön sırada 1’er katlı sütunlar: 9+6+3 = 18 küp):
3. Yapı (arka sırada 4’er, orta ve ön sıralarda 1’er katlı sütunlar: 12+3+3 = 18 küp):
b) Arkadaşlarınızla görev paylaşımı yapınız ve bu yapıları eş küplerle oluşturunuz. Yapıların eşit hacme sahip olmalarıyla ilgili düşüncelerinizi oluşturduğunuz yapıları inceleyerek açıklayınız.
Kısa Cevap: Üç yapı da 18 eş küpten oluştuğu için hacimleri eşittir. Görünümleri farklıdır çünkü 2. ve 3. Yapılarda küpler farklı yüksekliklerde dizilmiş, aralarda görünmeyen boşluklar bırakılmıştır.
Cevap: Yapıları eş küplerle oluşturduğumuzda 1. Yapının boşluksuz dolu bir dikdörtgenler prizması olduğunu, 2. ve 3. Yapılarda ise önden ve üstten bakınca görünmeyen yerlerde bazı küplerin eksik bırakıldığını görürüz. Üç yapı da toplam 18 küp içerdiği için hacimleri eşittir; dış görünüşleri farklıdır çünkü küplerin diziliş biçimi farklıdır. Bu da hacmin dıştan görünen şekle değil, yapıyı oluşturan eş küplerin sayısına bağlı olduğunu gösterir.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 142 Cevapları Birinci Kitap
Düşün-tartış-açıkla 9
Emel ve Doruk kare prizma ve küp şeklindeki renkli yapıları eş küplerle görsellerdeki gibi oluşturmuştur.
Doruk:
Emel:
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1) Emel ve Doruk’un oluşturduğu yapıların hacimlerini birimküp cinsinden bulunuz.
Kısa Cevap: Doruk’un kare prizmasının hacmi 3.3.5 = 45 birimküp, Emel’in küpünün hacmi 3.3.3 = 27 birimküptür.
Cevap: Doruk‘un oluşturduğu kare prizmanın tabanında bir kenar boyunca 3, diğer kenar boyunca 3 küp vardır; yükseklik boyunca 5 kat küp dizilmiştir. Bir katta 3.3 = 9 küp olduğundan hacim 9.5 = 45 birimküp‘tür.
Emel‘in oluşturduğu küpün her ayrıtı boyunca 3 küp vardır. Bir katta 3.3 = 9 küp, 3 kat olduğundan hacim 9.3 = 27 birimküp‘tür.
2) Kare prizma ve küp şeklindeki yapıların hacimlerini hesaplamak için dikdörtgenler prizmasının hacim bağıntısı kullanılabilir mi? Arkadaşlarınızla tartışınız ve ulaştığınız ortak sonuçları yazınız.
Kısa Cevap: Evet, kullanılabilir. Kare prizma ve küp dikdörtgenler prizmasının özel halleri olduğu için hacimleri de taban alanı ile yüksekliğin çarpımıyla bulunur.
Cevap: Kare prizma (tabanı kare olan) ve küp (tüm ayrıtları eşit olan), dikdörtgenler prizmasının özel durumlarıdır. Bu yüzden hacimlerini hesaplarken de aynı “taban alanı . yükseklik” bağıntısı kullanılabilir. Doruk’un kare prizmasında (3.3).5 = 45, Emel’in küpünde (3.3).3 = 27 birimküp bulunur; bu sonuçlar küpleri tek tek sayarak bulduğumuz sonuçlarla aynıdır.
Bilgi Kutusu
Kare prizma ve küp, dikdörtgenler prizmasının özel halleridir. Bu sebeple hacimleri hesaplanırken dikdörtgenler prizmasının hacim bağıntısı kullanılabilir.
Aşağıdaki örneklerde bir kare prizma ve küpün hacimleri aynı bağıntı ile hesaplanmıştır.
Kare prizmanın hacmi:
Taban Alanı = 2br · 2br
= 4 br²
Yükseklik = 4 br
Hacim = 4 br² · 4 br
= 16 br³
elde edilir.
Küpün hacmi:
Taban Alanı = 3br · 3br
= 9 br²
Yükseklik = 3 br
Hacim = 9 br² · 3 br
= 27 br³
elde edilir.
Dikdörtgenler prizmalarına ait hacim bağıntılarında üç ayrıtın uzunluğu (tabana ait iki dik ayrıtın uzunluğu ve yükseklik) çarpıldığı için hacim ölçüsünü ifade ederken br³ kullanılır.
br · br · br = br³
