7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 152-153-154-155 Cevapları

Dikdörtgenler Prizması ile Modellenen Cisimlerin Yüzey Alanları ve Hacimlerine Yönelik Problemler Cevapları

2. Tema- Geometrik Nicelikler (1): Konteynere sığan kahve kutularının ayrıtlarını, takı kutusunu kaplayan kumaşın maliyetini, akvaryumu dolduracak su miktarını ve diş fırçalarken boşa akan suyun havuzu kaç kişiyle dolduracağını hesaplıyoruz.

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 152 Cevapları Birinci Kitap

Dikdörtgenler Prizması İle Modellenen Cisimlerin Yüzey Alanları ve Hacimlerine Yönelik Problemler

Problem 1

Bir tekstil firması, uluslararası taşımacılıkta kullanılan standart ölçülere sahip bir konteynere ayrıt uzunlukları 3,2 dm, 4,5 dm ve 5 dm olan 400 adet eş kutuyu konteyneri tamamen dolduracak şekilde yerleştirmiştir.
Başka bir firma ise aynı konteynere ayrıt uzunlukları 1 desimetreden farklı bir tam sayı olan kare prizma biçimindeki 600 adet eş kahve kutusunu konteyneri tamamen dolduracak şekilde yerleştirmiştir.

Buna göre kahve kutusunun ayrıt uzunluklarının desimetre cinsinden alabileceği olası değerleri hesaplamak için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Problemde verilen bilgileri belirleyiniz. Bu bilgileri kullanarak önce konteynerin hacmini dm³ cinsinden hesaplayınız. Konteynerin hacmi ile bir kahve kutusunun hacmi arasındaki ilişkiden yola çıkarak bir kahve kutusunun hacmini bulunuz.

Kısa Cevap: Verilenler: kutunun ayrıtları 3,2 dm, 4,5 dm, 5 dm; konteynere bu kutulardan 400 tane ya da kare prizma biçimindeki kahve kutularından 600 tane sığar. Bir kutu 3,2 . 4,5 . 5 = 72 dm³, konteyner 400 . 72 = 28 800 dm³, bir kahve kutusu 28 800 : 600 = 48 dm³’tür.

Cevap: Verilen bilgiler:
Tekstil firmasının kutuları: ayrıtları 3,2 dm, 4,5 dm ve 5 dm; 400 kutu konteyneri tamamen dolduruyor.
Kahve kutuları: kare prizma biçiminde, ayrıt uzunlukları 1 dm’den farklı tam sayılar; 600 kutu aynı konteyneri tamamen dolduruyor.
Bir tekstil kutusunun hacmi 3,2.4,5.5 = 14,4.5 = 72 dm³’tür.
Konteyner 400 kutuyla tamamen dolduğu için konteynerin hacmi 400.72 = 28 800 dm³‘tür.

Aynı konteyner 600 eş kahve kutusuyla da tamamen dolduğu için bir kahve kutusunun hacmi 28 800 : 600 = 48 dm³‘tür.

b) Bir adet kahve kutusunun hacminden yola çıkarak bu kutuların ayrıt uzunluklarının alabileceği değerleri hesaplayınız ve aşağıdaki tabloya yazınız.

Kısa Cevap: Kahve kutusunun ayrıtları 2 dm, 2 dm, 12 dm ya da 4 dm, 4 dm, 3 dm olabilir.

Cevap: Kahve kutusu kare prizma olduğu için tabanı karedir. Taban ayrıtına a, yüksekliğe h dersek hacim a.a.h = 48 dm³’tür. Buna göre a.a, 48’i tam bölen bir kare sayı olmalıdır: 1, 4 veya 16.
a = 1 olamaz, çünkü ayrıt uzunlukları 1 dm’den farklıdır.
a = 2 ise a.a = 4 ve h = 48 : 4 = 12 dm → 2 dm, 2 dm, 12 dm
a = 4 ise a.a = 16 ve h = 48 : 16 = 3 dm → 4 dm, 4 dm, 3 dm
a = 3, 5 ve 6 için a.a (9, 25, 36) 48’i tam bölmez; a 7 ve daha büyük olursa a.a 48’den büyük olur. Bu yüzden tabloya iki durum yazılır.

c) Problemin çözümü için kullandığınız veya geliştirdiğiniz stratejileri incelemek için arkadaşlarınızla grup çalışması yapınız. Oluşturulan grupların farklı stratejilerle soruyu çözmesini sağlayarak çözümler arasındaki benzerlik ve farklılıkları belirleyiniz.

Kısa Cevap: 1. grup konteynerin hacmini (28 800 dm³) bulup 600’e böldü. 2. grup 400 kutu ile 600 kahve kutusunun hacimleri eşit olduğu için bir kahve kutusunun bir tekstil kutusunun 23 katı olduğunu buldu: 72’nin 23 katı 48 dm³. Benzerlik: ikisi de hacmin değişmediği fikrine dayanır ve aynı sonucu verir. Farklılık: biri toplam hacmi, diğeri kutu sayılarının oranını kullanır.

Cevap: Grup çalışmasında iki farklı strateji ortaya çıktı.
1. strateji (toplam hacim): Önce konteynerin hacmini bulduk: 400.72 = 28 800 dm³. Sonra bu hacmi kahve kutusu sayısına böldük: 28 800 : 600 = 48 dm³.
2. strateji (oran): 400 tekstil kutusu ile 600 kahve kutusu aynı konteyneri doldurduğu için toplam hacimleri eşittir. Kahve kutusu sayısı daha fazla olduğundan bir kahve kutusu daha küçüktür; bir kahve kutusu, bir tekstil kutusunun 400600 = 23 katıdır. Buna göre 72 : 3 = 24, 24.2 = 48 dm³ bulunur.
Benzerlik: İki strateji de konteynerin hacminin değişmediği fikrine dayanır ve aynı sonucu (48 dm³) verir.
Farklılık: 1. strateji konteynerin toplam hacmini hesaplar, büyük sayılarla işlem yapar. 2. strateji toplam hacmi bulmadan kutu sayılarının oranını kullanır, daha küçük sayılarla işlem yapar.

ç) Belirlediğiniz stratejiyi aşağıdaki probleme de uygulayabilir misiniz? Düşüncenizi açıklayınız.
Ayrıt uzunlukları 2 m, 3 m ve 6 m olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir konteynere taban ayrıt uzunluğu 2,5 dm olan kare prizma biçimindeki kutulardan en fazla 960 adet yerleştirilebilmektedir. Buna göre kutunun yüksekliğinin kaç cm olduğunu hesaplayınız.

Kısa Cevap: Evet, uygulanabilir. Konteynerin hacmi 20 . 30 . 60 = 36 000 dm³, bir kutunun hacmi 36 000 : 960 = 37,5 dm³, taban alanı 2,5 . 2,5 = 6,25 dm²’dir. Kutunun yüksekliği 37,5 : 6,25 = 6 dm = 60 cm’dir.

Cevap: Evet, aynı stratejiyi uygulayabiliriz: önce konteynerin hacmini bulur, kutu sayısına bölerek bir kutunun hacmini hesaplarız.
Kutunun ölçüsü dm cinsinden verildiği için konteynerin ölçülerini dm’ye çevirelim: 2 m = 20 dm, 3 m = 30 dm, 6 m = 60 dm.
Konteynerin hacmi 20.30.60 = 600.60 = 36 000 dm³’tür.

960 kutu konteyneri dolduruyorsa bir kutunun hacmi 36 000 : 960 = 37,5 dm³’tür.

Kutunun taban alanı 2,5.2,5 = 6,25 dm²’dir. Yükseklik = hacim : taban alanı = 37,5 : 6,25 = 6 dm’dir. Virgüllerden kurtulmak için iki sayıyı da 100 ile çarparak 3750 : 625 = 6 buluruz.

6 dm = 60 cm olduğundan kutunun yüksekliği 60 cm’dir.
Kontrol: 2,5 dm × 2,5 dm × 6 dm’lik kutulardan konteynerin 20 dm’lik ayrıtına 8, 30 dm’lik ayrıtına 12, 60 dm’lik ayrıtına 10 tane sığar: 8.12.10 = 960 kutu.

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 153 Cevapları Birinci Kitap

Problem 2

Atölyesinde kare prizma şeklinde özel takı kutuları üreten Ahmet Bey, kutuların dış yüzeyinin tamamını olabildiğince az miktarda kumaş kullanarak kaplamak istemektedir. Kutulara ve kaplama işlemine ilişkin bilgiler aşağıda verilmiştir:

• Kutular kare prizma şeklindedir.
• Kutunun yan yüzünün ayrıt uzunlukları 20 cm ve 30 cm’dir.
• Kullanılacak kumaşın metrekaresi 500 TL’dir.

Ahmet Bey, kutuların dış yüzey alanına karşılık gelecek kadar kumaş kullandığına ve hiç kumaş israf etmediğine göre bir kutunun kumaş maliyetini hesaplamak için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Yan yüzlerinin ayrıt uzunlukları verilen takı kutularının diğer ayrıt uzunluklarının olası değerlerini aşağıdaki tabloya yazınız.

Kısa Cevap: Taban ayrıtları 20 cm ve 20 cm, yüksekliği 30 cm ya da taban ayrıtları 30 cm ve 30 cm, yüksekliği 20 cm olabilir.

Cevap: Kare prizmanın yan yüzü, taban ayrıtı ile yükseklikten oluşan bir dikdörtgendir. 20 cm ve 30 cm’den hangisinin taban ayrıtı, hangisinin yükseklik olduğu belirtilmediği için iki durum vardır. Tabanı kare olduğundan tabana ait iki dik ayrıt birbirine eşittir.
1. durum: taban ayrıtları 20 cm ve 20 cm, yükseklik 30 cm
2. durum: taban ayrıtları 30 cm ve 30 cm, yükseklik 20 cm

b) Hangi kutunun kaplama maliyetinin düşük olacağını kutuların ayrıt uzunluklarından yola çıkarak tahmin ediniz ve tahmininizi gerekçelendiriniz. Problemi çözdükten sonra tahmininizin doğruluğunu kontrol ediniz.

Kısa Cevap: Tahminim: taban ayrıtları 20 cm, yüksekliği 30 cm olan kutunun maliyeti daha düşüktür. İki kutunun da 4 yan yüzü 20 cm × 30 cm’dir ama bu kutunun kare tabanları daha küçüktür. Çözümden sonra tahminim doğru çıktı (160 TL < 210 TL).

Cevap: İki kutunun da dört yan yüzü 20 cm × 30 cm’lik dikdörtgendir; bu yüzden yan yüzlerin toplam alanı iki kutuda da aynıdır. Farkı tabanlar oluşturur: 1. durumda tabanlar 20 cm × 20 cm, 2. durumda 30 cm × 30 cm’lik karelerdir. Tabanı küçük olan kutunun yüzey alanı daha az olacağı için daha az kumaş gerekir. Bu yüzden taban ayrıtları 20 cm olan kutunun kaplama maliyetinin daha düşük olacağını tahmin ettim. c şıkkında maliyetleri hesaplayınca 1. durum 160 TL, 2. durum 210 TL çıktı; tahminim doğrudur.

c) Bir kutunun kumaş maliyetini her iki olası durum için de hesaplayınız. Hangi durumda kaplama maliyetinin daha düşük olduğunu yazınız.

Kısa Cevap: 1. durumda yüzey alanı 3200 cm² = 0,32 m², maliyet 0,32 . 500 = 160 TL’dir. 2. durumda yüzey alanı 4200 cm² = 0,42 m², maliyet 0,42 . 500 = 210 TL’dir. Kaplama maliyeti 1. durumda daha düşüktür.

Cevap: Bir yan yüzün alanı 20.30 = 600 cm²’dir, dört yan yüzün alanı 4.600 = 2400 cm²’dir. 1 m² = 10 000 cm²’dir.
1. durum (taban ayrıtları 20 cm, yükseklik 30 cm): İki tabanın alanı 2.20.20 = 800 cm²’dir. Yüzey alanı 800 + 2400 = 3200 cm² = 0,32 m²’dir. Maliyet 0,32.500 = 160 TL‘dir.

2. durum (taban ayrıtları 30 cm, yükseklik 20 cm): İki tabanın alanı 2.30.30 = 1800 cm²’dir. Yüzey alanı 1800 + 2400 = 4200 cm² = 0,42 m²’dir. Maliyet 0,42.500 = 210 TL‘dir.

160 TL < 210 TL olduğundan kaplama maliyeti 1. durumda (taban ayrıtları 20 cm) daha düşüktür.

ç) Ahmet Bey, bir sipariş için taban ayrıtı 20 cm olan 100 adet takı kutusu üretecektir. Müşteri, maliyeti azaltmak istediği için takı kutularının alt taban yüzleri kumaşla kaplanmayacaktır. Bu durumda müşterinin ödeyeceği toplam tutar ne kadar azalır?

Kısa Cevap: Bir kutunun alt tabanı 20 . 20 = 400 cm² = 0,04 m², kaplama maliyeti 0,04 . 500 = 20 TL’dir. 100 kutu için toplam tutar 100 . 20 = 2000 TL azalır.

Cevap: Taban ayrıtı 20 cm olan kutunun alt taban yüzü 20.20 = 400 cm² = 0,04 m²’dir. Bu yüz kaplanmayınca bir kutuda 0,04.500 = 20 TL daha az ödenir. 100 kutuda toplam tutar 100.20 = 2000 TL azalır.

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 154 Cevapları Birinci Kitap

Problem 3

Samet, taban ölçüleri 40 cm ve 25 cm, yüksekliği 30 cm olan yeni bir akvaryum almış ve akvaryuma 20 litre su doldurmuştur. Daha sonra eklediği akvaryum kumu nedeniyle akvaryumdaki su seviyesi 0,5 cm yükselmiştir.

Buna göre akvaryum kumunu da ekledikten sonra akvaryumun tamamını doldurabilecek su miktarını bulmak için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Akvaryuma doldurulan su miktarına göre akvaryumdaki suyun yüksekliğini hesaplayınız ve akvaryumun ölçüleri ile suyun yüksekliğini yandaki modelde gösteriniz.

Kısa Cevap: Taban alanı 40 . 25 = 1000 cm², 20 L = 20 000 cm³’tür. Suyun yüksekliği 20 000 : 1000 = 20 cm’dir.

Cevap: Akvaryumun taban alanı 40.25 = 1000 cm²’dir.

1 L = 1 dm³ = 1000 cm³ olduğundan 20 L = 20 000 cm³’tür. Su, tabanı 1000 cm² olan bir prizma gibi yerleştiği için suyun yüksekliği 20 000 : 1000 = 20 cm‘dir.

b) Samet’in akvaryuma sonradan eklediği akvaryum kumunun hacmi kaç cm³’tür?

Kısa Cevap: Kum, su seviyesini 0,5 cm yükseltmiştir. Kumun hacmi 1000 . 0,5 = 500 cm³’tür.

Cevap: Akvaryuma eklenen kum, kendi hacmi kadar suyun yerini alır ve su seviyesi 0,5 cm yükselir. Yükselen kısım tabanı 1000 cm², yüksekliği 0,5 cm olan bir prizmadır. Buna göre kumun hacmi 1000.0,5 = 500 cm³‘tür.

c) Feyza ve Göktuğ, akvaryum kumu eklendikten sonra akvaryumun tamamının dolması için gereken su miktarını aşağıdaki stratejilerle hesaplamıştır. Bu stratejilerden yararlanarak kendi çözümünüzü yapınız.
Feyza: İlk olarak akvaryumun hacmini cm³ cinsinden hesaplayıp litreye çeviririm. Sonra akvaryum kumunun hacmini litreye çevirip akvaryumdaki 20 litre su ile toplarım. Su ve kumun hacimleri toplamını akvaryumun hacminden çıkarırım.
Göktuğ: İlk olarak akvaryuma eklenen kum ile suyun toplam yüksekliğini bulurum. Sonra akvaryumun boş kısmının yüksekliğini bularak bu kısmın hacmini hesaplar ve bulduğum sonucu litreye çeviririm.

Kısa Cevap: Akvaryumun hacmi 30 L, su ve kumun hacmi 20 + 0,5 = 20,5 L’dir. Akvaryumun tamamının dolması için 30 – 20,5 = 9,5 L su gerekir.

Cevap: Feyza’nın stratejisiyle: Akvaryumun hacmi 40.25.30 = 1000.30 = 30 000 cm³ = 30 L’dir. Kumun hacmi 500 cm³ = 0,5 L’dir. Su ve kumun toplam hacmi 20 + 0,5 = 20,5 L’dir. Gereken su 30 – 20,5 = 9,5 L‘dir.
Göktuğ’un stratejisiyle: Su ve kumun toplam yüksekliği 20 + 0,5 = 20,5 cm’dir. Akvaryumun boş kısmının yüksekliği 30 – 20,5 = 9,5 cm’dir. Boş kısmın hacmi 1000.9,5 = 9500 cm³ = 9,5 L‘dir.

ç) Akvaryumun içindeki su ve kum; taban ölçüleri 41 cm ve 20 cm, tabana ait yüksekliği 50 cm olan başka bir akvaryuma aktarıldığında bu akvaryumun tamamının dolması için kaç litre su eklenmesi gerektiğini hesaplayınız.

Kısa Cevap: Yeni akvaryumun hacmi 41 . 20 . 50 = 41 000 cm³ = 41 L’dir. Su ve kum 20,5 L olduğundan 41 – 20,5 = 20,5 L su eklenmelidir.

Cevap: Yeni akvaryumun hacmi 41.20.50 = 820.50 = 41 000 cm³ = 41 L’dir.

Aktarılan su 20 L, kum 0,5 L olduğundan akvaryumda 20,5 L’lik yer dolar. Tamamının dolması için 41 – 20,5 = 20,5 L su eklenmelidir.

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 155 Cevapları Birinci Kitap

Problem 4

Damlaya Damlaya “Havuz” Olur!

Dişlerimizi fırçalamak kişisel bakım için çok önemlidir ancak bu sırada musluğu açık bırakmak sanılandan çok daha fazla su israfına neden olur. Araştırmalara göre bir kişinin diş fırçalama süresi yaklaşık 2 dakikadır ve diş fırçalarken musluk açık bırakıldığında dakikada ortalama 5 litre su boşa akmaktadır. Dişlerini fırçalarken musluğu açık bırakan kişilerin boşa harcadığı su miktarı o kadar fazladır ki bu kişilerin israf ettiği toplam su miktarı olimpik bir yüzme havuzunu bile doldurabilir. (Genel ağdan alınmıştır.)

Uluslararası standartlarda olimpik bir yüzme havuzu dikdörtgenler prizması şeklinde ve ölçüleri 50 m, 25 m, 2 m olduğuna göre bu havuzlardan birinin en az kaç kişinin diş fırçalarken israf ettiği toplam su miktarıyla doldurulabileceğini bulmak için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Aşağıdaki tabloda verilen olası durumlarda israf edilen toplam su miktarlarını, diş fırçalarken musluğu açık bırakan bir kişinin israf ettiği su miktarından yola çıkarak hem metreküp hem litre cinsinden hesaplayınız ve tabloyu doldurunuz.

Kısa Cevap: Bir kişi bir fırçalamada 2 . 5 = 10 L, günde 20 L israf eder. 4 kişilik aile: 80 L = 0,08 m³. 1 milyon nüfuslu şehir: 20 000 000 L = 20 000 m³.

Cevap: Bir kişi bir kez diş fırçalarken 2 dakika boyunca dakikada 5 litre su boşa akar: 2.5 = 10 L. Günde 2 kez fırçaladığı için bir kişi günde 2.10 = 20 L su israf eder. 1 m³ = 1000 L’dir.
4 kişilik aile: 4.20 = 80 L; 80 L = 80 : 1000 = 0,08 m³

b) Bir kişinin günde iki kez diş fırçalarken musluğu açık bırakmasıyla israf edeceği su miktarını hesaplayınız. Bir kişinin diş fırçalarken israf ettiği su miktarının ne kadar sürede bir havuz büyüklüğüne ulaşabileceğini tahmin ediniz.

Kısa Cevap: Bir kişi günde 2 . 10 = 20 L su israf eder. Havuz 2 500 000 L olduğundan bu israf 2 500 000 : 20 = 125 000 günde, yani yaklaşık 342 yılda havuz büyüklüğüne ulaşır.

Cevap: Bir kişi bir fırçalamada 10 L, günde 2 kez fırçaladığı için 2.10 = 20 L su israf eder.
Havuzun hacmi 50.25.2 = 2500 m³ = 2 500 000 L’dir (c şıkkında ayrıntılı hesaplandı). Bir kişinin israfı her gün 20 L arttığı için havuz büyüklüğüne 2 500 000 : 20 = 125 000 günde ulaşır. Bu bölmeyi önce 10’a, sonra 2’ye bölerek yapabiliriz: 2 500 000 : 10 = 250 000, 250 000 : 2 = 125 000.

c) Olimpik yüzme havuzunun hacmini m³ cinsinden hesaplayınız ve en az kaç kişinin sadece bir kez diş fırçaladığında israf edeceği toplam su miktarının bu havuzu doldurmaya yeteceğini bulunuz.

Kısa Cevap: Havuzun hacmi 50 . 25 . 2 = 2500 m³ = 2 500 000 L’dir. Bir kişi bir kez diş fırçalarken 10 L israf ettiğinden en az 2 500 000 : 10 = 250 000 kişi gerekir.

Cevap: Havuzun hacmi 50.25.2 = 1250.2 = 2500 m³‘tür.

1 m³ = 1000 L olduğundan havuz 2500.1000 = 2 500 000 L su alır. Bir kişi bir kez diş fırçalarken 10 L su israf eder. Havuzu doldurmak için en az 2 500 000 : 10 = 250 000 kişinin bir kez diş fırçalaması yeter.

ç) 500 bin kişinin yaşadığı bir şehirde 1 m³ suyun fiyatı 30 TL’dir. Bu şehirde yaşayan herkesin günde 2 kez diş fırçaladığını ve musluğu kapattığını varsaydığınızda bir günlük toplam tasarruf miktarını TL cinsinden hesaplayınız.

Kısa Cevap: Kişi başı günde 20 L, 500 000 kişi için 500 000 . 20 = 10 000 000 L = 10 000 m³ su tasarruf edilir. Bir günlük tasarruf 10 000 . 30 = 300 000 TL’dir.

Cevap: Musluk açık kalsaydı her kişi günde 20 L su israf edecekti. Musluk kapatılınca bu su tasarruf edilir. 500 bin kişinin bir günlük tasarrufu 500 000.20 = 10 000 000 L’dir.

Sonraki Ödevler

• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 156 Cevapları 1. Kitap
• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 157-158 Cevapları 1. Kitap
• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 160-161 Cevapları 1. Kitap
• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 162-163 Cevapları 1. Kitap