7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 211-212-213-214 Cevapları
Orta Dikme ve Açıortay İnşası Cevapları
4. Tema- Dönüşüm: Simetrik doğru parçalarının ve açının simetri doğrusunu buluyor, pergel ve ölçüsüz cetvelle bir doğru parçasının orta dikmesini ve bir açının açıortayını adım adım inşa ediyoruz.
İçindekiler
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 211 Cevapları Birinci Kitap
Orta Dikme ve Açıortay İnşası
Uygulayalım 2
Aşağıdaki birinci görselde bir doğruya göre simetrik olduğu bilinen iki doğru parçası ve ikinci görselde bir A açısı verilmiştir.
(Birinci görselde AB ve A′B′ doğru parçaları, ikinci görselde köşesi A olan bir açı vardır.)
Buna göre birinci görseldeki simetri doğrusunu ve ikinci görseldeki açıya ait simetri doğrusunu oluşturmak için cetvel, gönye ve pergeli nasıl kullanabileceğinizi açıklayınız. Simetri doğrularını oluştururken dikkate aldığınız kriterleri yazınız.
Kısa Cevap: Birinci görselde A ile A′ ve B ile B′ noktalarını cetvelle birleştirir, bu doğru parçalarının orta noktalarını bulur ve gönyeyle orta noktalardan dik çizeriz; iki doğru parçasını da dik ortalayan doğru simetri doğrusudur. İkinci görselde pergelle A merkezli bir yay çizip kolları eşit uzaklıktaki K ve L noktalarında keseriz; KL doğru parçasının orta noktasını A ile birleştiririz. Kriterler: simetri doğrusu karşılıklı noktaları birleştiren doğru parçalarını dik ortalamalı, açıda ise köşeden geçip açıyı iki eş açıya ayırmalıdır.
Cevap: Birinci görsel: A ile A′ noktalarını ve B ile B′ noktalarını cetvelle birleştirdim. Cetvelle AA′ ve BB′ doğru parçalarının uzunluklarını ölçüp orta noktalarını işaretledim. Gönyenin dik kenarını AA′ üzerine koyup orta noktadan dik bir doğru çizdim. Bu doğrunun BB′ doğru parçasını da orta noktasından ve dik olarak kestiğini gönye ve cetvelle kontrol ettim. Bu doğru, AB ile A′B′ doğru parçalarının simetri doğrusudur. Pergelle de A ve A′ merkezli, eşit yarıçaplı iki çember çizip kesişim noktalarını birleştirerek aynı doğruyu bulabilirim.
İkinci görsel: Pergelin sivri ucunu A köşesine koyup bir yay çizdim; yay açının kollarını K ve L noktalarında kesti. K ve L aynı yayın üzerinde olduğu için A’ya eşit uzaklıktadır (cetvelle ölçerek de eşit uzunlukta işaretleyebilirim). K ile L’yi birleştirdim, KL doğru parçasının orta noktası M’yi cetvelle buldum ve A ile M’yi birleştiren ışını çizdim. Gönyeyle bu ışının KL’ye dik olduğunu kontrol ettim. AM ışını açının simetri doğrusudur.
Dikkate aldığım kriterler:
- Simetri doğrusu, karşılıklı noktaları birleştiren doğru parçalarına dik olmalıdır.
- Simetri doğrusu bu doğru parçalarını tam ortasından kesmelidir (dik ortalamalıdır).
- Açının simetri doğrusu açının köşesinden geçmeli ve açıyı iki eş açıya ayırmalıdır; kollar üzerindeki K ve L noktaları köşeye eşit uzaklıkta seçilmelidir.
- Pergelle çizilen çemberlerin yarıçapları birbirine eşit olmalıdır.
Katıl-uygula-keşfet 4
Pergel ve Ölçüsüz Cetvel Kullanarak Bir Doğru Parçasına Ait Simetri Doğrusunun İnşası
Malzemeler: ölçüsüz cetvel, pergel
Pınar: Kerim, daha önceki yıllarda yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak geometrik şekiller inşa ettiğimizi hatırlıyor musun?
Kerim: Tabii, hatırlıyorum hatta bunlardan bazıları simetri doğrusuna sahipti. Örneğin ikizkenar üçgen ve eşkenar dörtgen inşa etmiştik.
Kerim’in hatırladığı inşa çalışmaları ile ilgili şekiller aşağıda verilmiştir. Bu şekilleri inceleyerek verilen soruları cevaplayınız.
Birinci şekil: A ve B merkezli eş çemberlerin kesiştiği C noktası ile oluşturulan ABC üçgeni
İkinci şekil: D ve F merkezli, birbirinin merkezinden geçen eş çemberlerin kesiştiği E ve G noktaları ile oluşturulan DEFG eşkenar dörtgeni
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 212 Cevapları Birinci Kitap
1) ABC üçgeni ile DEFG eşkenar dörtgeninin simetri doğrularının nasıl oluşturulacağını şekillerin üzerine çizerek açıklayınız.
Kısa Cevap: ABC üçgeninde A ve B merkezli çemberlerin iki kesişim noktasını (C ve alttaki K noktası) birleştiren doğru simetri doğrusudur. DEFG eşkenar dörtgeninde çemberlerin kesişim noktalarını birleştiren EG doğrusu ve çemberlerin merkezlerini birleştiren DF doğrusu simetri doğrularıdır.
Cevap: ABC üçgeni: A ve B merkezli çemberlerin yarıçapları eşit olduğu için AC = BC’dir; ABC ikizkenar bir üçgendir. Çemberler C noktasının yanında alt tarafta bir noktada daha kesişir, bu noktaya K dedim. C ile K’yi ölçüsüz cetvelle birleştiren doğru AB kenarını dik ortalar ve üçgeni birbirinin simetriği olan iki parçaya ayırır. Bu doğru ABC üçgeninin simetri doğrusudur.
DEFG eşkenar dörtgeni: Çemberlerin yarıçapları eşit ve her çember diğerinin merkezinden geçtiği için DE = EF = FG = GD’dir. Çemberlerin kesişim noktaları olan E ile G’yi birleştiren doğru DF köşegenini dik ortalar; D ile F’yi birleştiren doğru da EG köşegenini dik ortalar. Bu iki köşegen doğrusu eşkenar dörtgenin iki simetri doğrusudur.
2) Kerim hatırladığı inşa çalışmalarından yola çıkarak bir doğru parçasına ait simetri doğrusunu yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl inşa edebilirdi? Kerim’in inşa adımlarını arkadaşlarınızla tartışınız ve ulaştığınız sonuçları yazınız.
Kısa Cevap: Doğru parçasının iki ucunu merkez alıp, yarıçapı doğru parçasının yarısından büyük ve birbirine eşit iki çember çizerdi. Çemberlerin kesiştiği iki noktayı ölçüsüz cetvelle birleştirince doğru parçasının simetri doğrusunu elde ederdi.
Cevap: Kerim, ABC üçgenini ve DEFG eşkenar dörtgenini inşa ederken çemberlerin kesişim noktalarını birleştiren doğrunun, çember merkezlerini birleştiren doğru parçasını dik ortaladığını görmüştü. Bu yüzden şu adımları izleyebilirdi:
- Pergeli doğru parçasının yarısından daha fazla açar.
- Pergelin açıklığını değiştirmeden doğru parçasının bir ucunu merkez alarak bir çember çizer.
- Aynı açıklıkla diğer ucu merkez alarak ikinci çemberi çizer. Çemberler doğru parçasının üstünde ve altında iki noktada kesişir.
- Bu iki kesişim noktasını ölçüsüz cetvelle birleştirir. Elde ettiği doğru, doğru parçasının simetri doğrusudur.
3) Bir doğru parçasına ait simetri doğrusunun inşası için belirlediğiniz adımları yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak aşağıdaki AB doğru parçası üzerinde uygulayınız ve ilgili soruları cevaplayınız.
Kısa Cevap: Pergeli AB’nin yarısından fazla açıp A ve B merkezli eşit yarıçaplı iki çember çizdim. Çemberler K ve L noktalarında kesişti. K ile L’yi ölçüsüz cetvelle birleştirdim; KL doğrusu AB doğru parçasının simetri doğrusudur.
Cevap: Pergeli AB doğru parçasının yarısından daha fazla açtım. Pergelin sivri ucunu A’ya koyup bir çember, açıklığı değiştirmeden sivri ucu B’ye koyup ikinci çemberi çizdim. Çemberler AB’nin üstünde K, altında L noktasında kesişti. K ile L’yi ölçüsüz cetvelle birleştirdim. KL doğrusu AB doğru parçasının simetri doğrusudur.
a) Uyguladığınız inşa adımlarında çemberlerin kesişip kesişmediğini ve yarıçap uzunluklarının eşit olup olmadığını açıklayınız.
Kısa Cevap: Çemberler K ve L olmak üzere iki noktada kesişti. İki çemberi de pergelin açıklığını değiştirmeden çizdiğim için yarıçap uzunlukları eşittir.
Cevap: Pergeli AB’nin yarısından fazla açtığım için çemberler birbirini iki noktada, K ve L noktalarında kesti. Pergeli AB’nin yarısından az açsaydım çemberler hiç kesişmezdi, tam yarısı kadar açsaydım yalnızca AB’nin orta noktasında birbirine değerdi. İki çemberi de pergelin açıklığını değiştirmeden çizdiğim için yarıçap uzunlukları birbirine eşittir.
b) Çizdiğiniz çemberlerin yarıçap uzunlukları AB doğru parçasının uzunluğundan farklı olabilir mi? Çizdiğiniz çemberleri sınıf arkadaşlarınızın çizdiği çemberlerle karşılaştırarak ulaştığınız sonuçları yazınız.
Kısa Cevap: Farklı olabilir. Yarıçap AB’den kısa da uzun da olabilir; yeter ki iki çemberin yarıçapı eşit ve AB’nin yarısından büyük olsun. Arkadaşlarımızın farklı yarıçaplarla çizdiği çemberlerin kesişim noktaları farklı yerlerde olsa da hepsi aynı simetri doğrusunu verdi.
Cevap: Farklı olabilir. Ben çemberlerin yarıçapını AB’den kısa seçtim; bazı arkadaşlarım AB’ye eşit, bazıları AB’den uzun seçti. Çizimlerimizi üst üste koyduğumuzda kesişim noktalarının farklı yerlerde olduğunu ama bu noktaları birleştiren doğruların hepsinin aynı doğru olduğunu gördük. Buna göre yarıçap uzunluğu AB’den farklı olabilir; önemli olan iki çemberin yarıçaplarının birbirine eşit ve AB’nin yarısından büyük olmasıdır.
c) Çizdiğiniz simetri doğrusu, AB doğru parçasını dik ortalar mı? Gerekçeleriyle yazınız.
Kısa Cevap: Dik ortalar. KA, KB, LA ve LB çemberlerin yarıçaplarına eşit olduğu için AKBL bir eşkenar dörtgendir. Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortaladığından KL doğrusu AB doğru parçasını dik ortalar.
Cevap: Dik ortalar. K ve L noktaları hem A merkezli hem de B merkezli çemberin üzerindedir. Bu yüzden KA, KB, LA ve LB uzunluklarının hepsi çemberlerin yarıçapına eşittir. Dört kenarı eşit olan AKBL dörtgeni bir eşkenar dörtgendir; tıpkı Kerim’in hatırladığı DEFG eşkenar dörtgeni gibi. Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar. KL ve AB bu eşkenar dörtgenin köşegenleri olduğu için KL doğrusu AB doğru parçasını tam ortasından ve dik olarak keser. Gönye ve cetvelle ölçtüğümde de KL’nin AB ile 90° açı yaptığını ve AB’yi iki eş parçaya ayırdığını gördüm.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 213 Cevapları Birinci Kitap
Bilgi Kutusu
Bir doğru parçasını dik kesen ve eşit uzunlukta iki doğru parçasına ayıran doğru, ışın veya doğru parçasına orta dikme denir. Bir doğru parçasına ait simetri doğrusu aynı zamanda o doğru parçasına ait orta dikmedir.
Orta dikme inşasında birbirini iki noktada kesen A ve B merkezli eş çember çiftlerinin aşağıdaki gibi farklı yöntemlerle çizilebileceğini fark ettiniz mi?
(Üç görselde de A ve B merkezli eş çemberler çizilmiş ve kesişim noktaları birleştirilmiştir: birincide çemberler K ve L, ikincide S ve T, üçüncüde P ve R noktalarında kesişmektedir.)
Kısa Cevap: Evet. Birinci görselde çemberlerin yarıçapı AB’den kısa, ikincide AB’den uzun, üçüncüde AB’nin yarısından biraz uzun seçilmiştir. Üç durumda da kesişim noktalarını birleştiren doğru aynıdır ve AB’yi dik ortalar.
Cevap: Evet, fark ettim. Üç görselde de A ve B merkezli çemberler birbirine eştir ama yarıçapları farklı seçilmiştir: birincide AB’den kısa, ikincide AB’den uzun, üçüncüde AB’nin yarısından biraz uzun. Kesişim noktaları farklı yerlerde oluşmuştur; ancak K ile L’yi, S ile T’yi ve P ile R’yi birleştiren doğruların üçü de AB’nin orta noktasından geçen ve AB’ye dik olan aynı doğrudur. Buna göre orta dikme inşasında çemberlerin yarıçapını istediğimiz gibi seçebiliriz; yeter ki iki çember eş olsun ve yarıçap AB’nin yarısından büyük olsun.
Katıl-uygula-keşfet 5
Yalnızca Pergel ve Ölçüsüz Cetvel Kullanarak Bir Açıya Ait Simetri Doğrusu İnşa Etme
Malzemeler: ölçüsüz cetvel, pergel
Bir açıya ait simetri doğrusu inşa etmek için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1) Bir açının köşesine eşit uzaklıkta olan, açının kolları üzerindeki iki noktayı belirleyebilmek için nasıl bir çizim yaparsınız? Açıklayınız.
Kısa Cevap: Pergelin sivri ucunu açının köşesine koyup açının iki kolunu da kesen bir yay çizerim. Yayın kolları kestiği iki nokta, köşeye yayın yarıçapı kadar, yani eşit uzaklıktadır.
Cevap: Pergelin sivri ucunu açının köşesine koyar, pergeli istediğim kadar açıp açının iki kolunu da kesecek şekilde bir yay (ya da çember) çizerim. Yayın kolları kestiği iki noktayı işaretlerim. Bu iki nokta aynı yayın üzerinde olduğu için köşeye olan uzaklıkları yayın yarıçapına, yani pergelin açıklığına eşittir. Böylece cetvelle ölçüm yapmadan köşeye eşit uzaklıktaki iki noktayı bulmuş olurum.
2) Aşağıdaki A açısının köşesine eşit uzaklıkta olan iki noktayı açının kolları üzerinde belirleyip bu noktaları K ve L olarak isimlendiriniz. Belirlediğiniz noktaları birleştiren KL doğru parçasına ait simetri doğrusunun inşası için bir sonraki adımın ne olabileceğini tartışınız.
Kısa Cevap: A merkezli bir yay çizip kolları kestiği noktalara K ve L dedim. Sonraki adım, K ve L noktalarını merkez alıp yarıçapı KL’nin yarısından büyük ve birbirine eşit iki çember çizmek ve çemberlerin kesişim noktalarını birleştirmektir.
Cevap: Pergelin sivri ucunu A köşesine koyup bir yay çizdim; yayın üst kolu kestiği noktaya K, alt kolu kestiği noktaya L dedim. K ve L noktaları A’ya eşit uzaklıktadır.
Arkadaşlarımla tartıştığımızda sonraki adımın, Katıl-Uygula-Keşfet 4’te AB doğru parçasının orta dikmesini inşa ederken yaptığımızın aynısı olduğuna karar verdik: K ve L noktalarını merkez alıp, pergelin açıklığını değiştirmeden eşit yarıçaplı iki çember çizmek ve bu çemberlerin kesişim noktasını A ile birleştirmek.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 214 Cevapları Birinci Kitap
3) Açının kolları üzerinde belirlediğiniz noktaları birleştiren KL doğru parçasını çizerek bu doğru parçasına ait orta dikmeyi yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel yardımıyla inşa ediniz.
Kısa Cevap: KL doğru parçasını çizdim. Pergeli KL’nin yarısından fazla açıp K ve L merkezli eşit yarıçaplı iki çember çizdim. Çemberlerin kesiştiği E noktası ile A köşesini ölçüsüz cetvelle birleştirdim; AE doğrusu KL’nin orta dikmesidir.
Cevap: K ile L’yi ölçüsüz cetvelle birleştirip KL doğru parçasını çizdim. Pergeli KL’nin yarısından fazla açtım; sivri ucu K’ye koyup bir çember, açıklığı değiştirmeden sivri ucu L’ye koyup ikinci çemberi çizdim. Çemberler KL’nin iki yanında iki noktada kesişti; açının içinde, KL’nin ötesinde kalan kesişim noktasına E dedim. E noktası ile A köşesini ölçüsüz cetvelle birleştirdim. AE doğrusu KL doğru parçasının orta dikmesidir; çemberlerin diğer kesişim noktası da bu doğrunun üzerindedir.
4) İnşa ettiğiniz orta dikme ile A açısına ait simetri doğrusu arasında nasıl bir ilişki vardır? Açıklayınız.
Kısa Cevap: İkisi aynı doğrudur. AK = AL olduğu için AKL ikizkenar üçgendir; KL’nin orta dikmesi A köşesinden geçer ve açıyı iki eş açıya ayırır. Yani KL’nin orta dikmesi A açısının simetri doğrusudur.
Cevap: İnşa ettiğim orta dikme ile A açısının simetri doğrusu aynı doğrudur. K ve L noktaları A’ya eşit uzaklıkta olduğu için AKL üçgeni ikizkenar bir üçgendir. Katıl-Uygula-Keşfet 4’te ikizkenar ABC üçgeninin simetri doğrusunun tabanın orta dikmesi olduğunu ve tepe köşesinden geçtiğini görmüştük. Aynı şekilde KL’nin orta dikmesi de A köşesinden geçer. Bu doğruya göre K noktasının simetriği L noktası olduğu için AK kolu AL kolunun üzerine yansır; yani doğru, açının iki kolunu birbirinin simetriği yapar. Bu yüzden KL’nin orta dikmesi A açısının simetri doğrusudur.
5) Çizdiğiniz çemberlerin yarıçap uzunlukları, KL doğru parçasının uzunluğundan farklı olabilir mi? Çizdiğiniz çemberleri sınıf arkadaşlarınızın çizdiği çemberlerle karşılaştırarak ulaştığınız sonuçları yazınız.
Kısa Cevap: Farklı olabilir. Yarıçap KL’den kısa da uzun da olabilir; yeter ki iki çemberin yarıçapı eşit ve KL’nin yarısından büyük olsun. Arkadaşlarımızın farklı yarıçaplarla bulduğu kesişim noktaları farklı yerlerde olsa da A ile birleştirildiğinde hepsi aynı simetri doğrusunu verdi.
Cevap: Farklı olabilir. Ben K ve L merkezli çemberlerin yarıçapını KL’den biraz uzun seçtim; bazı arkadaşlarım daha kısa, bazıları daha uzun seçti. Kesişim noktalarımız A’dan farklı uzaklıklarda oluştu ama bu noktaları A ile birleştirdiğimizde hepimiz aynı doğruyu elde ettik. Buna göre yarıçap KL’den farklı olabilir; önemli olan iki çemberin yarıçaplarının birbirine eşit ve KL’nin yarısından büyük olmasıdır.
Oluşturduğunuz orta dikmenin aynı zamanda A açısına ait simetri doğrusu olduğunu fark ettiniz mi?
Kısa Cevap: Evet. K ve L köşeye eşit uzaklıkta seçildiği için KL’nin orta dikmesi A köşesinden geçer ve açıyı iki eş açıya ayırır; bu yüzden aynı zamanda A açısının simetri doğrusudur.
Cevap: Evet, fark ettim. Bu bir rastlantı değildir: K ve L noktalarını köşeye eşit uzaklıkta seçtiğimiz için AKL ikizkenar bir üçgen olur ve tabanı KL’nin orta dikmesi tepe köşesi A’dan geçer. Simetri aynasını bu doğrunun üzerine koyduğumda AK kolunun görüntüsünün AL koluyla çakıştığını gördüm. Bu yüzden orta dikme aynı zamanda A açısının simetri doğrusudur.
6) A açısına ait simetri doğrusunun oluşturduğu iki yeni açı arasında nasıl bir ilişki olduğunu gerekçeleriyle açıklayınız.
Kısa Cevap: Oluşan iki yeni açı birbirine eştir; her biri A açısının yarısıdır. Çünkü simetri doğrusuna göre açılardan biri diğerinin yansıma dönüşümü altındaki görüntüsüdür ve bir şekil ile görüntüsü eştir.
Cevap: Simetri doğrusu A açısını iki yeni açıya ayırır ve bu iki açı birbirine eştir. Simetri doğrusuna göre yansıma dönüşümünde AK kolunun görüntüsü AL koludur, simetri doğrusu ise yerinde kalır. Bu yüzden simetri doğrusu ile AK kolu arasındaki açının görüntüsü, simetri doğrusu ile AL kolu arasındaki açıdır. Bir şekil ile yansıma dönüşümü altındaki görüntüsü eş olduğu için bu iki açı eşittir ve her biri A açısının yarısı kadardır. Açıölçerle ölçtüğümde A açısını yaklaşık 37°, oluşan açıların her birini yaklaşık 18,5° buldum.
Bilgi Kutusu
Bir açıyı iki eş açıya ayıran doğru, ışın veya doğru parçasına açıortay denir. Bir açıya ait simetri doğrusu aynı zamanda o açıya ait açıortaydır.
Açıortay inşasında birbirini iki noktada kesen B ve D merkezli eş çember çiftlerinin aşağıdaki gibi farklı yöntemlerle çizilebileceğini fark ettiniz mi?
(Üç görselde de A merkezli çemberin kolları kestiği B ve D noktaları merkez alınarak eş çemberler çizilmiş, çemberlerin kesiştiği E noktası A ile birleştirilmiştir.)
Kısa Cevap: Evet. Birinci görselde B ve D merkezli çemberlerin yarıçapı A merkezli çemberin yarıçapına eşit, ikincide ondan kısa, üçüncüde ondan uzun seçilmiştir. E noktası farklı yerlerde oluşsa da AE doğrusu üç durumda da aynı açıortaydır.
Cevap: Evet, fark ettim. Üç görselde de B ve D merkezli çemberler birbirine eştir ama yarıçapları farklıdır: birincide A merkezli çemberin yarıçapına eşit (bu durumda çemberler A noktasından da geçer), ikincide daha kısa, üçüncüde daha uzun seçilmiştir. Yarıçap değiştikçe E noktası A’ya yaklaşır ya da uzaklaşır; ancak E noktası hep açının simetri doğrusu üzerinde oluştuğu için AE doğrusu üç durumda da aynıdır. Buna göre açıortay inşasında B ve D merkezli çemberlerin yarıçapı, çemberler eş olduğu ve BD’nin yarısından büyük seçildiği sürece istenildiği gibi seçilebilir.
