7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 20-21-22-23 Cevapları
Üçgende Açıortay, Yükseklik, Kenar Orta Dikme ve Kenarortay Cevapları
5. Tema- Geometrik Şekiller: Bu bölümde çeşitkenar, ikizkenar ve eşkenar üçgenlerde açıortay-yükseklik-kenarortay ilişkilerini karşılaştırıyor, dinamik yazılımla iç merkez ve ağırlık merkezini keşfediyoruz.
Önceki Sayfalar: 16, 17, 18, 19
Sonraki Sayfalar: 24, 25, 26
İçindekiler
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 20 Cevapları İkinci Kitap
DÜŞÜN-TARTIŞ-AÇIKLA 1
Aşağıda bazı yönergeler, bu yönergelerin uygulanacağı üçgenler ve Mehtap ile Berk arasında geçen karşılıklı konuşmalar verilmiştir.
Bu yönergeleri uygulayarak açıortay, yükseklik ve kenarortay çizimlerinizi yapınız. Mehtap ve Berk’in arasında geçen konuşmayla ilgili yorumlarınızı çizimlerinizi de dikkate alarak yazınız.
- C, K ve P açılarına ait açıortayları açıölçer kullanarak mavi kalemle çiziniz.
- AB, LM ve RS kenarlarına ait yükseklikleri gönye kullanarak kırmızı kalemle çiziniz.
- AB, LM ve RS kenarlarına ait kenarortayları cetvel kullanarak mor kalemle çiziniz.
Üç üçgen verilmiştir: Çeşitkenar Üçgen (A, B, C köşeleri), İkizkenar Üçgen (K, L, M köşeleri, KL=KM), Eşkenar Üçgen (P, R, S köşeleri, tüm kenarlar eşit).
Mehtap: “Çeşitkenar bir üçgende bir köşeden çizilen açıortay, açıyı iki eş açıya böldüğünde karşı kenarı da iki eşit uzunlukta parçaya böler mi?”
Berk: “Benim çeşitkenar üçgende çizdiğim açıortay, karşı kenarı eşit uzunlukta iki parçaya ayırmadı. Bu durumun diğer kenarlar için de geçerli olup olmadığını merak ediyorum.”
a) Berk’in merak ettiği sorunun cevabını çizimlerinizi inceleyerek yazınız.
Kısa Cevap:
Evet, çeşitkenar üçgende hiçbir açıortay karşı kenarı eşit ikiye bölmez.
Cevap: Bir açıortay, karşı kenarı ancak o açıya komşu iki kenar birbirine eşitse (yani üçgen o köşeden ikizkenarsa) eşit ikiye böler. Çeşitkenar üçgende hiçbir köşeye komşu iki kenar eşit olmadığından, üç açıortaydan hiçbiri karşı kenarını eşit uzunlukta ikiye bölmez.
Mehtap: “İkizkenar üçgenin eşit uzunlukta olmayan kenarına ait açıortay, kenarortay, kenar orta dikme ve yükseklik çizildiğinde bu doğru parçalarından hangisi üçgenin simetri doğrusu üzerinde olur Berk?”
Berk: “Ben bu kenara ait simetri doğrusunun yalnızca yükseklik olduğunu düşünüyorum.”
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 21 Cevapları İkinci Kitap
b) Berk’in cevabının doğru olup olmadığına çizimlerinizi inceleyerek karar veriniz. Bu soruya sizin cevabınız ne olurdu? Yazınız.
Kısa Cevap:
Hayır, Berk’in cevabı eksik; o kenara ait açıortay, yükseklik, kenar orta dikme ve kenarortayın DÖRDÜ de aynı doğru üzerindedir.
Cevap: İkizkenar üçgende eşit olmayan kenar (taban) için tepe köşesi, tabanın iki ucuna da eşit uzaklıktadır. Bu yüzden tepeden inilen yükseklik, tepe açısının açıortayı, tabanın orta noktasına giden kenarortay ve tabanın kenar orta dikmesi HEPSİ aynı doğru parçasıdır; Berk sadece birini (yüksekliği) söylediği için cevabı eksiktir.
Mehtap: “İkizkenar üçgenin eşit uzunluktaki kenarlarına ait kenarortaylar, bu kenarlara dik midir?”
Berk: “Bence evet, diktir. Hatta dik olduğuna göre bu kenarlara ait kenarortay ile yükseklik aynı doğrulardır.”
c) Berk’in cevabının doğru olup olmadığına çizimlerinizi inceleyerek karar veriniz. Bu soruya sizin cevabınız ne olurdu? Yazınız.
Kısa Cevap:
Hayır, Berk’in cevabı yanlıştır; eşit kenarlara ait kenarortaylar o kenarlara dik değildir.
Cevap: Eşit kenarlardan birine (örneğin KM’ye) ait kenarortay, L köşesinden KM’nin orta noktasına çizilir; ama bu doğru KM’ye dik çıkmaz, sadece KM’nin ortasına uğrar. KM’ye ait gerçek yükseklik ise L’den KM’ye dik inen ayrı bir doğrudur, ayağı kenarortayın ayağıyla (KM’nin orta noktası) çakışmaz. Bu yüzden kenarortay ile yükseklik burada aynı doğru değildir.
Mehtap: “Eşkenar üçgende tüm kenarlara ait açıortay, kenarortay, kenar orta dikme ve yükseklikleri incelediğimde hepsinin aynı doğru parçası olduğunu gördüm. Bu durum tesadüf mü yoksa eşkenar üçgenin bir özelliği olabilir mi?”
ç) Berk, Mehtap’ın bu sorusunu doğru cevapladığına göre nasıl bir cevap vermiş olabilir? Çizimlerinizi inceleyerek cevabınızı yazınız.
Kısa Cevap:
Tesadüf değildir; eşkenar üçgen her kenara göre aynı zamanda ikizkenardır.
Cevap: Eşkenar üçgende üç kenar da birbirine eşit olduğundan, hangi kenara bakılırsa bakılsın o kenara komşu diğer iki kenar da birbirine eşittir; yani üçgen her kenara göre ayrı ayrı ikizkenar sayılabilir. Bu yüzden ikizkenar üçgenin tabanı için geçerli olan çakışma kuralı, eşkenar üçgende üç kenarın üçü için de aynı anda geçerli olur.
Eşkenar üçgenin tüm kenarlarına, ikizkenar üçgenin ise sadece eşit uzunlukta olmayan kenarına ait kenarortay, kenar orta dikme, açıortay ve yüksekliklerin aynı doğru parçası olduğu, yukarıdaki çizim ve tartışmalarla doğrulanmış oldu.
Bir üçgende kenar ve açı gibi elemanlara temel eleman; açıortay, yükseklik, kenar orta dikme ve kenarortay gibi elemanlara yardımcı eleman adı verilir.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 22 Cevapları İkinci Kitap
KATIL-UYGULA-KEŞFET 3: Dinamik Matematik Yazılımı ve Araç-Gereç Kullanarak Üçgende Açıortay ile Kenarortay Çizimi
Malzemeler: dinamik matematik yazılımı, cetvel, açıölçer.
1) Dinamik matematik yazılımı kullanarak verilen üçgenin açıortaylarını çiziniz.
1. Adım: “Çokgen” aracıyla dar açılı çeşitkenar bir üçgen (ABC) çizilir, “Açı” aracıyla dar açılı olduğu kontrol edilir.
2. Adım: “Açıortay” aracıyla üçgenin tüm açılarına ait açıortaylar çizilir.
a) Yaptığınız çizimlere göre üçgenin açıortaylarının kesişim noktası hakkında ne söyleyebilirsiniz?
Kısa Cevap:
Üçgenin üç açıortayı, üçgenin iç bölgesindeki tek bir noktada kesişir.
Cevap: A, B ve C açılarına ait üç açıortay da aynı noktada, üçgenin iç merkezi denen tek bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin iç bölgesindedir ve üç kenara da eşit uzaklıktadır.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 23 Cevapları İkinci Kitap
b) Çizdiğiniz dar açılı üçgenin bir köşesini tutup sürükleyerek dik ve geniş açılı üçgenler oluşturunuz. Oluşturduğunuz üçgenlerin açıortaylarının kesişim noktası üçgenlerin hangi bölgesindedir? Açıklayınız.
Kısa Cevap:
Dik ve geniş açılı üçgenlerde de açıortayların kesişim noktası yine üçgenin iç bölgesindedir, değişmez.
Cevap: Üçgen dar, dik veya geniş açılı olsun, üç açıortayın kesiştiği nokta hep üçgenin iç bölgesinde kalır. Bu, yüksekliklerin kesişim noktasından (geniş açılı üçgende dışarı çıkabilen) farklı bir davranıştır; açıortayların kesişimi üçgenin türünden etkilenmez.
2) Aşağıdaki dar, dik ve geniş açılı çeşitkenar üçgenlerin tüm kenarlarına ait kenarortayları cetvel kullanarak çiziniz.
Üç üçgen verilmiştir: KLM (dar açılı), PRS (dik açılı, dik açı R’de), VYZ (geniş açılı).
a) Dar, dik ve geniş açılı üçgenlerdeki çizimlerinizi inceleyerek üçgenlerin kenarortaylarının kesişim noktasının üçgenin hangi bölgesinde olduğuyla ilgili gözlemlerinizi yazınız.
Kısa Cevap:
Dar, dik ve geniş açılı üçgenlerin hepsinde kenarortayların kesişim noktası yine üçgenin iç bölgesindedir.
Cevap: Üç kenarortay da, üçgen dar, dik veya geniş açılı olsun her zaman üçgenin iç bölgesindeki tek bir noktada (ağırlık merkezinde) kesişir. Geniş açılı bir üçgende bile ağırlık merkezi asla üçgenin dışına çıkmaz.
b) Kenarortayların kesişim noktasını belirlemek için çizdiğiniz üçgenler çeşitkenar değil de eşkenar veya ikizkenar üçgen olsaydı, kenarortaylarının kesişim noktası üçgenin hangi bölgesinde olurdu? Gerekçeleriyle açıklayınız.
Kısa Cevap:
Yine üçgenin iç bölgesinde olurdu; çeşitkenar/ikizkenar/eşkenar olması bu özelliği değiştirmez.
Cevap: Ağırlık merkezinin iç bölgede olması üçgenin kenar uzunluklarına göre türüne bağlı değildir, her üçgende geçerli bir kuraldır. Tek fark eşkenar üçgende ortaya çıkar: orada ağırlık merkezi, az önce keşfedilen iç merkezle de tam olarak aynı noktaya denk gelir, çünkü eşkenar üçgende tüm yardımcı elemanlar (açıortay, kenarortay, yükseklik, kenar orta dikme) kenar başına çakışır.
Üçgenlerin tüm açıortayları ile kenarortaylarının kesişim noktası her zaman üçgenin iç bölgesindedir.
Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir.
