7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 216-217 Cevapları
4. Tema Ölçme ve Değerlendirme Soruları Cevapları
4. Tema- Dönüşüm: Pergel ve ölçüsüz cetvelle açıortay inşa ediyor, çokgenlerin simetri doğrularını çiziyor, hatalı orta dikme adımını buluyor, eş şekillerin simetrik olup olmadığını ve daire diliminin simetri doğrusunu inceliyoruz.
İçindekiler
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 216 Cevapları Birinci Kitap
4. Tema Ölçme ve Değerlendirme Soruları
1) Aşağıdaki açıların açıortaylarını, pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak inşa ediniz.
(a: köşesi A olan, bir kolu yatay olarak C noktasından, diğer kolu dikey olarak B noktasından geçen açı; b: köşesi D olan, kolları E ve F noktalarından geçen açı; c: köşesi G olan, kolları H ve I noktalarından geçen doğru açı)
Kısa Cevap: Her açıda köşeyi merkez alan bir yay çizip kolları köşeye eşit uzaklıktaki K ve L noktalarında kestim. K ve L merkezli eşit yarıçaplı iki çember çizdim, çemberlerin açının içindeki kesişim noktası M’yi köşeyle birleştirdim. a) Açıortay dik açıyı 45°’lik iki açıya ayırır. b) Açıortay EDF açısını iki eş açıya ayırır. c) Açıortay HI doğrusuna G noktasında diktir ve doğru açıyı 90°’lik iki açıya ayırır.
Cevap: Üç açıda da aynı adımları uyguladım:
- Pergelin sivri ucunu açının köşesine koyup açının iki kolunu da kesen bir yay çizdim ve yayın kolları kestiği noktalara K ve L dedim. K ve L köşeye eşit uzaklıktadır.
- Pergelin açıklığını KL’nin yarısından fazla olacak biçimde ayarladım. Açıklığı değiştirmeden sivri ucu önce K’ye, sonra L’ye koyarak iki eş çember çizdim. Çemberlerin açının içindeki kesişim noktasına M dedim.
- Köşe ile M’yi ölçüsüz cetvelle birleştirdim. Bu ışın açının açıortayıdır.
a) CAB açısının kollarından biri yatay, diğeri dikey olduğu için bu açı dik açıdır. AM açıortayı, dik açıyı 45°’lik iki eş açıya ayırır.
b) EDF açısının DM açıortayı D köşesinden başlayıp açının içinden sola doğru uzanır ve açıyı iki eş açıya ayırır.
c) HGI açısı doğru açıdır (180°). G merkezli yay HI doğrusunu G’ye eşit uzaklıkta K ve L noktalarında keser. K ve L merkezli çemberlerin yarıçapını GK’den büyük seçtim; çemberlerin üstteki kesişim noktası M ile G’yi birleştirdim. GM ışını HI doğrusuna diktir ve doğru açıyı 90°’lik iki eş açıya ayırır. Bu açıortay aynı zamanda KL doğru parçasının orta dikmesidir.
2) Aşağıdaki çokgenlerin simetri doğrularını, matematiksel araçlardan uygun olanları (pergel, cetvel, açıölçer) kullanarak çiziniz.
(a: KJML dörtgeni; b: kenarları eş olan OPRSTUN yedigeni; c: kenarları eş olan VYZ üçgeni)
Kısa Cevap: a) KJML dörtgeninin 1 simetri doğrusu vardır: K ve M köşelerinden geçen doğru. b) Düzgün yedigenin 7 simetri doğrusu vardır; her biri bir köşeden karşısındaki kenarın orta noktasına çizilir. c) Eşkenar üçgenin 3 simetri doğrusu vardır; her biri bir köşeden karşısındaki kenarın orta noktasına çizilir.
Cevap: (Çizimlerde simetri doğruları kırmızı kesik çizgiyle gösterilmiştir.)
a) KJML dörtgeni: Cetvelle ölçtüğümde KJ = KL ve MJ = ML olduğunu gördüm. K ve M noktalarının her biri J ve L’ye eşit uzaklıkta olduğu için ikisi de JL doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir. Pergelle J ve L merkezli eşit yarıçaplı çemberler çizip kesişim noktalarını birleştirdiğimde bu doğrunun K ve M’den geçtiğini gördüm. Bu yüzden simetri doğrusu KM doğrusudur ve dörtgenin 1 simetri doğrusu vardır. KJ ile JM eş olmadığı için JL doğrusu simetri doğrusu değildir.
b) Düzgün yedigen: Yedigenin bütün kenarları eştir. Bir kenarın orta dikmesini pergel ve cetvelle çizdiğimde bu doğrunun karşıdaki köşeden geçtiğini gördüm. Yedi kenarın her biri için aynı işlemi yaptığımda 7 simetri doğrusu elde ettim. Açıölçerle kontrol edince her simetri doğrusunun geçtiği köşedeki açıyı iki eş açıya ayırdığını gördüm.
c) VYZ üçgeni: Üç kenarı eş olduğu için eşkenar üçgendir. Her kenarın orta dikmesi karşıdaki köşeden geçer ve üçgeni birbirinin simetriği olan iki parçaya ayırır. Bu yüzden eşkenar üçgenin 3 simetri doğrusu vardır. Açıölçerle kontrol ettiğimde her doğrunun geçtiği 60°’lik açıyı 30°’lik iki açıya ayırdığını gördüm.
3) Aşağıdaki CD doğru parçasına ait orta dikme inşasının bazı adımları hatalı verilmiştir.
(1. Adım: CD doğru parçası çizilmiştir. 2. Adım: C merkezli ve D merkezli iki çember çizilmiş, çemberler T ve R noktalarında kesişmiştir; D merkezli çember C merkezli çemberden küçüktür. 3. Adım: T ile R birleştirilmiştir.)
Buna göre orta dikme inşa adımlarını dikkatlice inceleyip ilk hatanın hangi adımda yapıldığını tespit ediniz. Hatalı adımın nedenini ve doğru inşa adımının nasıl olması gerektiğini gerekçeleriyle açıklayınız.
Kısa Cevap: İlk hata 2. Adımda yapılmıştır. C ve D merkezli çemberlerin yarıçapları farklıdır; bu yüzden TR doğrusu CD’ye dik olsa da CD’yi tam ortasından kesmez. Doğrusu, pergelin açıklığı değiştirilmeden, CD’nin yarısından büyük ve eşit yarıçaplı iki çember çizmektir.
Cevap: 1. Adımda yalnızca CD doğru parçası çizildiği için bu adım doğrudur. 2. Adımda C merkezli çember ile D merkezli çember farklı büyüklükte, yani farklı yarıçaplarla çizilmiştir. İlk hata bu adımdadır.
Hatanın nedeni: Orta dikme üzerindeki her nokta C’ye ve D’ye eşit uzaklıkta olmalıdır. Çemberlerin yarıçapları farklı olunca T ve R noktalarının C’ye uzaklığı ile D’ye uzaklığı farklı olur. Bu yüzden 3. Adımda çizilen TR doğrusu CD’ye dik olsa da CD’nin orta noktasından geçmez; CD’yi eşit uzunlukta iki parçaya ayırmaz. Hatalı 2. Adımdan dolayı 3. Adımda bulunan doğru da orta dikme değildir. Aşağıdaki çizimde O, CD’nin orta noktasıdır; hatalı inşada TR doğru parçası O’dan geçmez.
Doğru inşa adımı: Pergel CD’nin yarısından daha fazla açılır. Açıklık değiştirilmeden önce C, sonra D merkez alınarak iki eş çember çizilir. Çemberlerin kesiştiği T ve R noktaları birleştirilir. Bu durumda T ve R, C’ye ve D’ye eşit uzaklıkta olduğu için TR doğrusu CD’yi dik ortalar ve CD’nin orta dikmesi olur.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 217 Cevapları Birinci Kitap
4) Aşağıdaki eş şekillerin gizli bir doğruya göre simetrik olup olmadığını yalnızca pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak bulunuz. Simetri aynası veya asetat kağıdı yerleştirerek çiziminizin doğruluğunu kontrol ediniz.
(Görselde biri sol altta, diğeri sağ üstte iki eş beşgen vardır.)
Kısa Cevap: Şekiller bir doğruya göre simetrik değildir. Karşılıklı köşe çiftlerinin orta dikmelerini pergel ve ölçüsüz cetvelle inşa ettiğimde farklı doğrular elde ettim; karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçaları da birbirine paralel değildir. Simetri aynasını hangi doğrultuda koysam da görüntü diğer şekille çakışmadı.
Cevap: Soldaki şeklin köşelerine A, B, C, D, E; sağdaki şekilde bunlara karşılık gelen köşelere K, L, M, N, P dedim. Karşılık gelen köşeleri kenar uzunluklarını pergelle karşılaştırarak buldum: en uzun kenar AB ile KL, girintideki kısa kenar DE ile NP eştir.
- C ile M noktalarını birleştirip CM doğru parçasının orta dikmesini pergel ve ölçüsüz cetvelle inşa ettim (mavi doğru). Şekiller simetrik olsaydı bu doğru, simetri doğrusu olmalıydı.
- A ile K noktalarını birleştirip AK doğru parçasının orta dikmesini de inşa ettim (yeşil doğru). Bu doğrunun CM’nin orta dikmesiyle çakışmadığını, farklı doğrultuda olduğunu gördüm.
- AK, BL ve CM doğru parçaları birbirine paralel değildir; CM doğru parçası diğer ikisinden çok daha dik bir doğrultudadır. Simetrik şekillerde bu doğru parçalarının hepsi aynı simetri doğrusuna dik, dolayısıyla birbirine paralel olurdu.
(Çizimde gri kesik çizgiler karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçalarıdır.)
Karşılıklı köşe çiftlerinin ortak bir orta dikmesi olmadığı için şekiller bir doğruya göre simetrik değildir. Sağdaki şekil, soldakinin ters çevrilmiş haline benzese de ayrıca kaydırılmıştır. Simetri aynasını CM’nin orta dikmesi üzerine koyduğumda soldaki şeklin görüntüsünün sağdaki şekilden kaymış olduğunu gördüm; bu da sonucumu doğruladı.
5) Aşağıda verilen iki eş üçgenin çizilen doğruya göre simetrik olup olmadığını uygun matematiksel araçları kullanarak açıklayınız.
(Görselde çizilen eğik doğrunun sol üstünde DEF üçgeni, sağ altında ona eş başka bir üçgen vardır.)
Kısa Cevap: Simetrik değildir. Açıölçerle ölçünce DEF üçgeninin en küçük açısı D’dedir; diğer üçgende en küçük açı üst köşededir, yani D’ye karşılık gelen köşe odur. Cetvelle ölçünce D çizilen doğruya en uzak köşe, ona karşılık gelen köşe ise doğruya en yakın köşedir. Simetrik noktalar doğruya eşit uzaklıkta olmalıdır. Ayrıca karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçaları çizilen doğruya dik değildir.
Cevap: Diğer üçgenin köşelerine K (üst köşe), L (sol köşe) ve M (alt köşe) dedim. Açıölçerle ölçtüğümde D ile K açılarının yaklaşık 35°, E ile L açılarının yaklaşık 104°, F ile M açılarının yaklaşık 41° olduğunu gördüm. Buna göre D’ye K, E’ye L, F’ye M karşılık gelir.
(Çizimde gri kesik çizgiler karşılıklı köşeleri birleştiren doğru parçalarıdır.)
- Uzaklık: Cetvelle köşelerin çizilen doğruya uzaklıklarını ölçtüm. D, üçgenin doğruya en uzak köşesidir; oysa ona karşılık gelen K, diğer üçgenin doğruya en yakın köşesidir. Simetrik noktalar doğruya eşit uzaklıkta olmalıdır.
- Diklik: DK, EL ve FM doğru parçalarının çizilen doğruyla yaptığı açıları gönyeyle kontrol ettim. Bu doğru parçalarının hiçbiri doğruya dik değildir ve birbirine paralel değildir.
- Yön: DEF üçgeninde D, E, F köşelerini sırayla dolaşınca saatin tersi yönünde döneriz. K, L, M köşelerini sırayla dolaşınca yine saatin tersi yönünde döneriz. Yansıma dönüşümünde şeklin yönü ters döner; burada yön değişmemiştir. İkinci üçgen, birincinin döndürülmüş halidir.
Bu nedenlerle iki eş üçgen çizilen doğruya göre simetrik değildir. Simetri aynasını çizilen doğrunun üzerine koyduğumda DEF üçgeninin görüntüsünün diğer üçgenle çakışmadığını gördüm.
6) Aşağıda bir daire dilimi verilmiştir.
(Görseldeki daire diliminin merkezi alttaki köşesidir. Yarıçaplardan biri yukarı doğru, diğeri sağa ve biraz yukarı doğru uzanır; yay sağ üst taraftadır.)
Buna göre verilen daire diliminin simetri doğrusunu yalnızca ölçüsüz cetvel ve pergel kullanarak inşa ediniz. İnşa adımlarını gerekçeleriyle açıklayınız.
Kısa Cevap: Dilimin merkezine O, yayın uçlarına A ve B dedim. A ve B merkezli eşit yarıçaplı iki çember çizip çemberlerin yay tarafındaki kesişim noktası G’yi O ile birleştirdim. OG doğrusu dilimin simetri doğrusudur. OA ve OB aynı dairenin yarıçapları olduğu için eşittir; bu yüzden OG hem AB’nin orta dikmesi hem de AOB açısının açıortayıdır.
Cevap: Daire diliminin merkezine O, yayın iki ucuna A ve B dedim. İnşayı şöyle yaptım:
- OA ve OB aynı dairenin yarıçapları olduğu için eşittir; A ve B, O’ya eşit uzaklıktadır. Bu yüzden dilimin simetri doğrusu AOB açısının açıortayıdır.
- Pergeli A ile B arasındaki uzaklığın yarısından fazla açtım. Açıklığı değiştirmeden A merkezli ve B merkezli iki çember çizdim.
- Çemberlerin kesişim noktalarından dilimin dışında, yay tarafında kalanına G dedim.
- O ile G’yi ölçüsüz cetvelle birleştirdim. OG doğrusu dilimin simetri doğrusudur.
Gerekçe: G noktası A’ya ve B’ye eşit uzaklıktadır; O noktası da A’ya ve B’ye eşit uzaklıktadır. Bu yüzden OG doğrusu AB doğru parçasının orta dikmesidir. Bu doğruya göre A noktasının simetriği B noktasıdır; OA yarıçapı OB yarıçapının üzerine yansır ve yay da kendi üzerine yansır. Böylece OG doğrusu daire dilimini birbirinin simetriği olan iki eş parçaya ayırır ve AOB açısını iki eş açıya böler.
