7.Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 32-33-34 Cevapları 2.Kitap

5. Tema Ölçme ve Değerlendirme Soruları Cevapları

5. Tema- Geometrik Şekiller: Ağırlık merkezi yorumlarını değerlendiriyor, dallanmış ağaçta doğru çıkışı buluyor, katlanan ve kesilen üçgenlerde uzunluk hesaplıyor, kenarortay inşa ediyor, parktaki heykelin kenarlara uzaklıklarını ve Anıl’ın hatasını inceliyoruz.

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 32 Cevapları İkinci Kitap

5. Tema Ölçme ve Değerlendirme Soruları

1) Elmas, Aliye ve Zafer bir üçgenin ağırlık merkezi ile ilgili aşağıdaki yorumları yapmışlardır.
Elmas: Üçgenin ağırlık merkezi, tüm kenar orta dikmelerinin kesiştiği noktadır.
Aliye: Üçgenin ağırlık merkezi, tüm kenarortaylarının kesiştiği noktadır.
Zafer: Üçgenin ağırlık merkezi, tüm yüksekliklerinin kesiştiği noktadır.
Bu yorumlardan hangileri tüm üçgen çeşitleri için doğrudur?
A) Yalnız Elmas
B) Yalnız Aliye
C) Aliye ve Zafer
D) Elmas ve Zafer

Kısa Cevap: B seçeneği. Ağırlık merkezi tüm kenarortayların kesiştiği noktadır; bu yüzden yalnız Aliye’nin yorumu tüm üçgenler için doğrudur.

Cevap: Ağırlık merkezi, üçgenin kenarortaylarının kesiştiği noktadır ve kenarortaylar her üçgende üçgenin iç bölgesinde kesişir. Bu yüzden Aliye’nin yorumu tüm üçgen çeşitleri için doğrudur. Elmas’ın ve Zafer’in yorumları ise yalnız eşkenar üçgende doğrudur; çünkü eşkenar üçgende her kenara ait kenarortay, kenar orta dikme ve yükseklik aynı doğru üzerindedir. Çeşitkenar üçgende bu doğrular birbirinden farklıdır. Geniş açılı bir üçgende kenar orta dikmeler de yüksekliklerin uzantıları da üçgenin dış bölgesinde kesişir; dış bölgedeki bir nokta ağırlık merkezi olamaz. Doğru cevap B‘dir.

2) Aşağıdaki tanılayıcı dallanmış ağaçta üçgenlerin yardımcı elemanları ile ilgili ifadeler verilmiştir.

Kısa Cevap: İlk ifade yanlış (Y), ikinci ifade yanlış (Y), üçüncü ifade doğru (D) olduğu için 7. Çıkış’a ulaşılır.

Cevap: İlk ifadeden başlayarak her ifadenin doğru mu yanlış mı olduğuna karar verdim:

• “Eşkenar üçgende bir kenara ait kenarortay ve açıortay farklı doğrulardır.” ifadesi yanlıştır. Eşkenar üçgende bir kenara ait kenarortay, o kenarın karşısındaki açının açıortayı ile aynı doğru parçasıdır. Bu yüzden Y okunu izledim.
• “Kenar orta dikmeler her üçgende mutlaka üçgenin iç bölgesinde kesişir.” ifadesi yanlıştır. Geniş açılı bir üçgende kenar orta dikmeler üçgenin dış bölgesinde kesişir. Bu yüzden yine Y okunu izledim.
• “Ağırlık merkezi kenarortayların kesişim noktasıdır.” ifadesi doğrudur. Bu yüzden D okunu izledim ve 7. Çıkış‘a ulaştım.

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 33 Cevapları İkinci Kitap

3) Aşağıda Şekil 1’de CDE üçgeni, Şekil 2’de bu üçgenin DE kenarının CE kenarları ile çakıştığı bir katlama işlemi verilmiştir.
(Şekil 1’de CD = 30 cm ve DE = 20 cm olan CDE üçgeni verilmiştir. Şekil 2’de üçgen, E köşesinden geçen ve CD kenarını F noktasında kesen kat çizgisi boyunca katlanmış; D köşesi CE kenarı üzerindeki D’ noktasına gelmiştir. Şekil 2’de CF = 16 cm ve CD’ = 9 cm’dir.)
Buna göre
I. CDE üçgeninin çevre uzunluğu 79 cm’dir.
II. FE doğru parçası CD kenarına ait yüksekliktir.
III. CFD’ üçgeninin çevre uzunluğu 39 cm’dir.
IV. DEF açısının ölçüsü ile CEF açısının ölçüsü birbirine eşittir.
Verilen bilgilerden hangileri doğrudur?
A) I, IV
B) I, III
C) I, III, IV
D) I, II, III, IV

Kısa Cevap: C seçeneği. I, III ve IV doğru, II yanlıştır.

Cevap: Katlamada ED kenarı ED’ üzerine, FD doğru parçası FD’ üzerine gelir; katlanan parçaların uzunlukları değişmez.
I. Doğru: ED’ = ED = 20 cm olduğundan CE = CD’ + D’E = 9 + 20 = 29 cm’dir. CDE üçgeninin çevre uzunluğu 30 + 20 + 29 = 79 cm‘dir.

II. Yanlış: Katlamada DEF açısı CEF açısının üzerine geldiği için FE, E açısının açıortayıdır. CDE üçgeninin kenarları 30 cm, 20 cm ve 29 cm olduğu için üçgen çeşitkenardır. Çeşitkenar üçgende aynı köşeden çizilen açıortay ile yükseklik farklı doğru parçalarıdır. Bu yüzden FE, CD kenarına ait yükseklik değildir.
III. Doğru: FD = CD − CF = 30 − 16 = 14 cm’dir ve katlamada FD’ = FD = 14 cm olur. CFD’ üçgeninin çevre uzunluğu 16 + 14 + 9 = 39 cm‘dir.

IV. Doğru: Katlamada DEF açısı D’EF açısının üzerine gelir. D’ noktası CE kenarı üzerinde olduğu için D’EF açısı CEF açısıdır. Bu yüzden DEF ve CEF açılarının ölçüleri birbirine eşittir.
Doğru cevap C‘dir.

4) Aşağıda Şekil 1’de çevre uzunluğu 70 cm olan PRS üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin Şekil 2’de verilen gri kısmı kesilerek çıkarılmıştır.
(Şekil 1’de PR kenarı üzerindeki V noktası S ile birleştirilmiştir; RV = 7 cm ve RS = 27 cm’dir. Şekil 2’de PR kenarı üzerinde P ile V arasında bir T noktası vardır; gri renkli PTS üçgeni kesilip çıkarılmış, geriye TRS üçgeni kalmıştır.)
|PR| = 19 cm olan PRS üçgeninden gri kısım kesilip çıkarıldığında kalan üçgendeki SV doğru parçası TR kenarına ait kenarortaydır. Kesilen PTS üçgeni ile TVS üçgeninin çevre uzunlukları birbirine eşit olduğuna göre SV kenarının uzunluğunun kaç cm olduğunu hesaplayınız.

Kısa Cevap: SV kenarının uzunluğu 22 cm’dir.

Cevap: SV, TR kenarına ait kenarortay olduğu için V noktası TR’nin orta noktasıdır. Bu yüzden TV = RV = 7 cm ve TR = 7 + 7 = 14 cm’dir.
PT = PR − TR = 19 − 14 = 5 cm’dir.
PRS üçgeninin çevre uzunluğu 70 cm olduğundan PS = 70 − (19 + 27) = 70 − 46 = 24 cm’dir.


Kesilen PTS üçgeninin çevre uzunluğu: PT + TS + PS = 5 + TS + 24 = 29 + TS
TVS üçgeninin çevre uzunluğu: TV + SV + TS = 7 + SV + TS
İki çevre uzunluğu eşit olduğu için 29 + TS = 7 + SV + TS olur. TS iki tarafta da bulunduğu için 29 = 7 + SV ve SV = 29 − 7 = 22 cm‘dir.

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 34 Cevapları İkinci Kitap

5) Aşağıda boş bırakılan yere gönye ve ölçüsüz cetvel kullanarak dik açılı bir üçgen çiziniz. Bu üçgenin bir kenarına ait kenarortayı pergel ve ölçüsüz cetvel yardımıyla inşa ederek aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Kısa Cevap: Gönyeyle A açısı 90° olan ABC dik üçgenini çizdim. B ve C merkezli eş yaylarla BC kenarının orta dikmesini inşa edip orta noktası M’yi buldum. A ile M’yi birleştirerek BC kenarına ait AM kenarortayını çizdim.

Cevap:

• 1. Adım: Ölçüsüz cetvelle AC doğru parçasını çizdim. Gönyenin dik köşesini A noktasına, bir kenarını AC’nin üzerine yerleştirdim ve gönyenin diğer kenarı boyunca AB doğru parçasını çizdim. B ile C’yi birleştirince A açısı 90° olan ABC dik üçgeni oluştu.
• 2. Adım: Pergeli BC’nin yarısından daha fazla açtım. Açıklığı değiştirmeden B merkezli ve C merkezli iki yay çizdim. Yayların kesiştiği noktalara K ve L dedim.
• 3. Adım: K ve L noktalarını ölçüsüz cetvelle birleştirdim. KL doğrusu BC’nin orta dikmesidir ve BC’yi orta noktası M’de keser.
• 4. Adım: A köşesini M noktasıyla birleştirdim. AM doğru parçası A köşesini karşısındaki kenarın orta noktasına birleştirdiği için BC kenarına ait kenarortaydır.

a) İnşa ettiğiniz kenarortayın, kenarın tam orta noktasından geçtiğini nasıl doğrulayabileceğinizi açıklayınız.

Kısa Cevap: Pergelin sivri ucunu B’ye, kalemli ucunu M’ye koyarım. Açıklığı bozmadan sivri ucu C’ye taşıdığımda kalemli uç yine M’ye geliyorsa BM = MC’dir ve kenarortay BC’nin tam orta noktasından geçer.

Cevap: M noktası, B ve C merkezli eş yayların kesişim noktalarını birleştiren KL doğrusunun üzerinde olduğu için B’ye ve C’ye eşit uzaklıktadır. Bunu şu yollarla doğrulayabilirim:

• Pergelle: Pergelin sivri ucunu B’ye, kalemli ucunu M’ye koyarım. Açıklığı değiştirmeden sivri ucu C’ye taşırım. Kalemli uç yine M noktasına geliyorsa BM ile MC eşittir.
• Kâğıt katlayarak: Kâğıdı B ve C noktaları üst üste gelecek şekilde katlarım. Kat izi BC’yi M noktasında keserse M, BC’nin orta noktasıdır.
• Cetvelle: BM ve MC uzunluklarını cetvelle ölçerim. İki uzunluk eşit çıkarsa M, BC’nin orta noktasıdır.

b) Çizdiğiniz üçgenin ikizkenar bir üçgen olduğunu düşünerek eşit olmayan kenara inşa edeceğiniz kenarortayın başka hangi yardımcı elemanlarla çakışabileceğini yazınız.

Kısa Cevap: Eşit olmayan kenara ait kenarortay; o kenara ait yükseklik, karşısındaki açının açıortayı ve o kenarın kenar orta dikmesi ile çakışır.

Cevap: Dik üçgenim ikizkenar olsaydı dik açının kolları olan AB ve AC kenarları eşit olurdu. Eşit olmayan kenar, dik açının karşısındaki BC kenarı olurdu. İkizkenar üçgende eşit uzunlukta olmayan kenara ait kenarortay; A köşesinden BC’ye çizilen yükseklik, A açısının açıortayı ve BC’nin kenar orta dikmesi ile çakışır. Bu doğru parçası üçgenin simetri doğrusu üzerindedir ve 90°’lik A açısını 45°’lik iki eş açıya ayırır.

6. Bir mimar yanda verilen görseldeki gibi eşkenar üçgen biçiminde bir park tasarlamıştır ve bu parkın tüm kenarlarına eşit uzaklıkta olan bir noktaya heykel yerleştirmiştir.
(Görselde eşkenar üçgen biçimindeki parkın içinde bir nokta ve bu noktadan üç kenara çizilen, eşit uzunlukta olduğu işaretlenmiş üç dik doğru parçası vardır.)
Buna göre mimarın heykeli yerleştirdiği noktanın kenarlara olan uzaklıklarının toplamını uygun matematiksel araçlar kullanarak hesaplayınız. Bulduğunuz sonucun üçgenin hangi yardımcı elemanının uzunluğuna eşit olduğunu gerekçeleriyle açıklayınız.

Kısa Cevap: Heykelin kenarlara olan üç uzaklığı eşittir ve her biri parkın yüksekliğinin üçte biri kadardır. Bu yüzden uzaklıkların toplamı eşkenar üçgenin yüksekliğinin uzunluğuna eşittir.

Cevap: Parkın köşelerine A, B, C; heykelin bulunduğu noktaya O dedim. O noktasından kenarlara gönyeyle OD, OE ve OF dikmelerini çizdim ve cetvelle ölçtüm. Üç uzaklık birbirine eşit çıktı. Gönyeyle A köşesinden BC kenarına AD yüksekliğini çizdim; bu yükseklik O noktasından geçti. Ölçtüğümde her uzaklığın yüksekliğin üçte biri kadar olduğunu, üç uzaklığın toplamının da yüksekliğe eşit olduğunu gördüm.
Gerekçe: O noktasını köşelerle birleştirince park OAB, OBC ve OCA üçgenlerine ayrılır. Parkın bir kenar uzunluğuna a, O’nun kenarlara uzaklığına d, parkın yüksekliğine h dersek her küçük üçgenin tabanı a, yüksekliği d olur. Üç küçük üçgenin alanları toplamı parkın alanına eşittir:
a.d2 + a.d2 + a.d2 = a.h2
Eşitliğin iki tarafındaki bütün kesirlerde a ile çarpma ve 2’ye bölme olduğu için bunlar sadeleşir ve d + d + d = h olur. Yani heykelin kenarlara olan uzaklıklarının toplamı parkın yüksekliğine eşittir. Eşkenar üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortay ve açıortay olduğu için bu toplam, kenarortayın ve açıortayın uzunluğuna da eşittir.

7. Anıl: Üçgenin tüm kenarortayları aynı noktada kesişir ama bu nokta her zaman üçgenin iç bölgesinde değildir.
Anıl’ın ifadesinde bir hata var mıdır? Hata varsa matematiksel gerekçelerle açıklayınız.

Kısa Cevap: Evet, hata vardır. Kenarortayların kesiştiği nokta (ağırlık merkezi) her üçgende üçgenin iç bölgesindedir.

Cevap: Anıl’ın ifadesinin ilk kısmı doğrudur; bir üçgenin üç kenarortayı tek bir noktada, ağırlık merkezinde kesişir. İkinci kısmı ise yanlıştır. Kenarortay, bir köşeyi karşısındaki kenarın orta noktasına birleştirir. Köşe de kenarın orta noktası da üçgenin üzerinde olduğu için kenarortayın tamamı üçgenin içinde kalır. Bu yüzden kenarortaylar dar, dik ve geniş açılı üçgenlerin hepsinde üçgenin iç bölgesinde kesişir. Aşağıdaki geniş açılı ABC üçgeninde de kenarortaylar üçgenin içindeki G noktasında kesişmiştir. Anıl’ın söylediği durum yükseklikler için geçerlidir: geniş açılı üçgende yüksekliklerin uzantıları üçgenin dış bölgesinde kesişir.

Sonraki Ödevler

• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 36-37 Cevapları 2. Kitap
• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 38-39-40-41 Cevapları 2. Kitap
• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 42-43-44-45 Cevapları 2. Kitap
• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 46-47-48-49 Cevapları 2. Kitap