7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 46-47-48 Cevapları
Rasyonel Sayıların Farklı Temsilleri Cevapları
1. Tema- Sayılar ve Nicelikler (1): Devirli ondalık gösterimleri pay ve payda kuralıyla kesre çeviriyor, bir devirli sayıyı sayı doğrusunda gösteriyor ve 0,999… sayısının neden 1’e eşit olduğunu üç yolla anlıyoruz.
İçindekiler
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 46 Cevapları Birinci Kitap
Uygulayalım 17
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Aşağıdaki devirli ondalık gösterimlere karşılık gelen rasyonel sayıları ab biçiminde yazınız.
Cevap:
0,4: pay = 4 – 0 = 4, payda = 9 → 49
0,23: pay = 23 – 0 = 23, payda = 99 → 2399
-2,27: pay = 227 – 2 = 225, payda = 99 → -22599, sadeleşince → -2511
-6,15: pay = 615 – 6 = 609, payda = 99 → -60999, sadeleşince → -20333
5,412: pay = 5412 – 54 = 5358, payda = 990 → 5358990, sadeleşince → 893165
b) -1,7̄ devirli ondalık gösterimini sayı doğrusunda gösteriniz.
Kısa Cevap: -1,7̄ = -169 olur, -1 ile -2 arasında -2’ye yakın bir noktadır.
Cevap: -1,7̄’nin rasyonel karşılığı pay=17-1=16, payda=9 olduğundan -169‘dur (yaklaşık -1,78). Sayı doğrusunda -1 ile -2 arası 9 eş parçaya bölünür, -1’den sola doğru 7 parça ilerlenir; nokta -1 ile -2 arasında, -2’ye yakındır.
c) a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere 0,36 = ab eşitliğinde a + b’nin alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Kısa Cevap: a+b’nin alabileceği en küçük değer 41’dir.
Cevap: 0,36 = 3390‘dır (36-3=33 pay, 90 payda). En sade hali 1130‘dur (33 ve 90’ın en büyük ortak böleni 3). a ve b pozitif tam sayı ve kesir sadeleştirilemez halde olduğu için en küçük a+b değeri 11+30=41‘dir.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 47 Cevapları Birinci Kitap
Düşün-Tartış-Açıkla 11
İlknur Öğretmen, öğrencilerinden 0,9999… devirli ondalık gösteriminin 1’e eşit olup olmadığını düşünmelerini istemiştir. Sena ve Mete’nin bu soru ile ilgili görüşlerini içeren karşılıklı konuşma aşağıda verilmiştir.
Sena: “Öğretmenimizin sorduğu soruyu düşündün mü Mete? Bence 0,9999… devirli ondalık gösterimi 1’den küçüktür.”
Mete: “Evet Sena düşündüm. Bence 0,9999… devirli ondalık gösterim 1’e eşittir.”
Hangi öğrencinin görüşüne katıldığınızı gerekçeleriyle açıklayarak arkadaşlarınızla tartışınız. Düşüncenizi doğrulayabilmek amacıyla aşağıdaki stratejileri uygulayınız.
1. Strateji: Aşağıdaki sayı doğrularında verilen sayılardan yola çıkarak A ve B noktalarına karşılık gelen ondalık gösterimleri bulunuz. Bulduğunuz ondalık gösterimler ile ilgili aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Kısa Cevap: A noktası 0,99, B noktası 0,999’dur.
Cevap: İkinci sayı doğrusunda 0 ile 1 arası 10 eş parçaya bölünmüş, son parçanın başı 0,9’dur. Üçüncü sayı doğrusunda 0,90 ile 1 arası yine 10 eş parçaya bölünmüş, A noktası 9. çizgide olduğu için A = 0,99‘dur. Dördüncü sayı doğrusunda 0,99 ile 1 arası 10 eş parçaya bölünmüş, B noktası 9. çizgide olduğu için B = 0,999‘dur.
a) Sizce, A ve B noktalarına karşılık gelen ondalık gösterimlerden hangisi 1’e daha yakındır? Gerekçeleriyle açıklayınız.
Kısa Cevap: B noktası (0,999) 1’e daha yakındır, çünkü 1’e uzaklığı 0,001, A’nınki ise 0,01’dir.
Cevap: Sayı doğrusunu sürekli yakınlaştırdıkça A ve B noktaları 1’e daha da yaklaşıyor. A noktasının 1’e uzaklığı 1 – 0,99 = 0,01, B noktasının 1’e uzaklığı 1 – 0,999 = 0,001’dir. Bu yüzden B noktası 1’e daha yakındır. Her yakınlaştırmada virgülden sonra bir 9 daha ekleniyor ve sayı 1’e biraz daha yaklaşıyor.
b) 0,999… ifadesinde yer alan 9’ların sonsuza kadar devam ettiğini düşündüğünüzde bu sayı hangi sayıya karşılık gelir?
Kısa Cevap: 0,999… sayısı 1’e karşılık gelir.
Cevap: 9’lar sonsuza kadar devam ettiğinde aradaki fark sıfıra iner, bu yüzden 0,999… sayısı 1‘e eşittir.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 48 Cevapları Birinci Kitap
2. Strateji: 0,999… devirli ondalık gösterimine karşılık gelen rasyonel sayıyı ab biçiminde yazınız. Elde ettiğiniz sonucu 1 ile karşılaştırınız.
Kısa Cevap: 0,999… = 99 = 1’dir.
Cevap: 0,9̄’un ab karşılığını bulmak için formülü uygularsak pay=9-0=9, payda=9 (1 basamak devir) olur. 99=1 eder. Yani 0,999… sayısı gerçekten 1’e eşittir.
3. Strateji: Aşağıda verilen eşitlikte 13 yerine bu sayının devirli ondalık gösterimi olan 0,3333… yazınız. Bu ondalık gösterimi 3 ile çarparak elde ettiğiniz sonucun 1’e eşit olmasını yorumlayınız.
(13 × 3 = 1)
Kısa Cevap: 0,333…×3=0,999… ve 13×3=1 olduğuna göre 0,999…=1’dir.
Cevap: 13‘ün devirli ondalık gösterimi 0,333…’tür. Bunu 3 ile çarparsak 0,999… elde ederiz. Ama 13×3 işleminin sonucu kesin olarak 1’dir. Bu da 0,999… ile 1’in aynı sayı olduğunu gösterir.
İlknur Öğretmen’in sorduğu “0,999… sayısı 1’e eşit midir?” sorusuyla ilgili görüşünüzü doğrulayabilmek için çeşitli stratejiler uyguladınız. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Stratejileri uyguladıktan sonra Sena ve Mete’nin görüşlerinden hangisine katıldığınızı yazınız.
Kısa Cevap: Mete’nin görüşüne katılıyorum, 0,999…=1’dir.
Cevap: Stratejileri uyguladıktan sonra Mete‘nin görüşüne katılıyorum. 0,999… devirli ondalık gösterimi gerçekten 1’e eşittir.
b) Başlangıçtaki görüşünüz ile stratejileri uyguladıktan sonraki görüşünüz arasında değişiklik var mı? Cevabınız evet ise sebebini açıklayınız.
Kısa Cevap: Evet, başta 1’den küçük sanıyordum ama stratejiler bunun yanlış olduğunu gösterdi.
Cevap: Evet, değişiklik oldu. Başta 0,999… sayısının 1’den biraz küçük olduğunu düşünüyordum çünkü sonsuza kadar 9 yazsak bile “tam 1 olmaz” gibi geliyordu. Ama ab biçimine çevirme ve 13×3 stratejileri, bu sayının gerçekten 1’e eşit olduğunu matematiksel olarak kanıtladı.
4,9̄ devirli ondalık gösteriminin hangi rasyonel sayıya eşit olduğunu düşününüz.
Kısa Cevap: 4,9̄ = 459 = 5’e eşittir.
Cevap: 4,9̄’un ab karşılığı pay=49-4=45, payda=9 olur. 459=5 eder. Yani 4,999… sayısı da tam olarak 5’e eşittir (0,999…=1 kuralının aynısı, sadece 4 eklenmiş hali).
Uygulayalım 18
AB ve CD iki basamaklı doğal sayılar ve 1,AB = 5133 ve 0,CD = 7077 olduğuna göre ABCD‘nin ondalık gösterimini bulunuz.
Kısa Cevap: ABCD = 5490 = 35 = 0,6’dır.
Cevap: 1,AB = 5133, sadeleşince 1711 olur:
1711 = 1,54, yani AB=54. 0,CD = 7077, sadeleşince 1011 olur:
1011 = 0,90, yani CD=90. ABCD = 5490, sadeleşince 35 = 0,6 olur.
