7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 86-87-88-89 Cevapları
Rasyonel Sayılarla İşlemler ve Problem Çözme Cevapları
1. Tema- Sayılar ve Nicelikler (1): Toplamanın değişme, birleşme, etkisiz ve ters eleman özelliklerini kartlarla uyguluyor, dal parçası problemini adım adım çözüyor, kazı yapan köstebekle rasyonel sayılarda çarpmayı öğreniyoruz.
İçindekiler
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 86 Cevapları Birinci Kitap
Bilgi Kutusu
- Rasyonel sayılarda toplama işlemi yapılırken toplanan sayıların yer değiştirmesi sonucu değiştirmez. Buna rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme özelliği denir.
- Rasyonel sayılarda ikiden fazla rasyonel sayıyı toplarken sayılardan herhangi ikisinin önce toplanması sonucu değiştirmez. Buna rasyonel sayılarda toplama işleminin birleşme özelliği denir.
- Rasyonel sayılarda bir sayının “0” ile toplanması, sayının değerini değiştirmez. Buna rasyonel sayılarda toplama işleminin etkisiz eleman özelliği denir.
- Toplamları “0” (etkisiz eleman) olan iki rasyonel sayı, toplama işlemine göre birbirinin tersidir. Buna rasyonel sayılarda toplama işleminin ters eleman özelliği denir.
Uygulayalım 45
Özlem [(-29)+(+13)]+(+29) işleminin sonucunu bulabilmek için aşağıdaki çözüm adımlarını gerçekleştirmiştir. Özlem’in her bir adımda kullandığı işlem özelliklerini verilen boşluklara yazınız.
İşlem: [(-29)+(+13)]+(+29)
→ [(+13)+(-29)]+(+29)
→ (+13)+[(-29)+(+29)]
→ (+13)+0
→ (+13)
Kısa Cevap:
1. adım: Değişme özelliği
2. adım: Birleşme özelliği
3. adım: Ters eleman özelliği
4. adım: Etkisiz eleman özelliği
Cevap: 1. adımda -29 ile +13‘ün yerleri değiştirilmiştir, bu değişme özelliğidir. 2. adımda toplamda önce hangi iki terimin toplanacağı değiştirilmiştir (parantez kaydırılmıştır), bu birleşme özelliğidir. 3. adımda (-29)+(+29) toplamı 0 olarak hesaplanmıştır, bu ters eleman özelliğidir. 4. adımda (+13)+0 işlemi (+13)’e eşitlenmiştir, bu etkisiz eleman özelliğidir.
Uygulayalım 46
Yandaki kartların her birinin ön yüzünde ve arka yüzünde yazan rasyonel sayıların toplamı toplama işleminin etkisiz elemanına eşittir.
(Kartların ön yüzlerinde yazan sayılar: 72 ; 5 ; -4 ; -92 ; 0)
Buna göre kartların arka yüzlerinde yazan rasyonel sayıların toplamını bulunuz. Toplama işlemini daha kolay yapabilmek için hangi işlem özelliklerini kullanabileceğinizi açıklayınız.
Kısa Cevap: Arka yüzlerdeki sayılar ön yüzlerdekilerin ters işaretlisidir: -72 ; -5 ; 4 ; 92 ; 0. Değişme ve birleşme özellikleriyle gruplanırsa (-72+92)+(-5+4)+0 = 1+(-1)+0 = 0 bulunur.
Cevap: Her kartın iki yüzündeki sayıların toplamı etkisiz eleman olan 0’a eşit olduğu için arka yüzdeki sayı, ön yüzdeki sayının toplama işlemine göre tersidir (ters eleman özelliği). Bu nedenle arka yüzlerde -72, -5, 4, 92 ve 0 yazar. Bu sayıları toplarken değişme özelliği ile paydası aynı olan kesirler ve tam sayılar yan yana getirilir, birleşme özelliği ile de önce bunlar kendi aralarında toplanır: (-72+92)+((-5)+4)+0 = 22+(-1)+0 = 1+(-1)+0 = 0. 1 ile -1’in toplamının 0 olması yine ters eleman özelliğidir, 0 eklemek ise sonucu değiştirmez (etkisiz eleman özelliği).
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 87 Cevapları Birinci Kitap
Problem 5
Bahçede oynarken topları ağaçta kalan Doruk ve Burak, topu düşürebilmek için iki dal parçası bulmuştur. Dal parçalarından birinin uzunluğu 1 13 metre, diğeri ise bu parçadan 37 metre fazladır.
Buldukları dal parçaları ile topa ulaşamayan Doruk ve Burak, bu dalları 25 metrelik kısımları üst üste gelecek biçimde yandaki görseldeki gibi bağlayarak daha uzun bir parça elde etmişlerdir.
Burak ve Doruk’un son durumda elde ettikleri dal parçasının toplam uzunluğu kaç metredir?
Problemi çözebilmek için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Dalın toplam uzunluğunu bulabilmek için gerekli olan niceliklerin neler olduğunu ve bu niceliklerin nasıl kullanılacağını açıklayınız.
Kısa Cevap: Birinci dalın uzunluğu (1 13 m), ikinci dalın birinciden fazlası (37 m) ve üst üste gelen kısım (25 m) gereklidir. İki dal toplanır, üst üste gelen kısım çıkarılır.
Cevap: Toplam uzunluğu bulmak için birinci dalın uzunluğu (1 13 = 43 metre), ikinci dalın uzunluğu (birinciden 37 metre fazla) ve üst üste gelen 25 metrelik kısım gereklidir. İki dal uzunluğu toplanır, üst üste gelen kısım iki kez sayılmaması için sonuçtan çıkarılır.
b) Dal parçalarını temsil eden modeller çiziniz ve her bir dalın uzunluğunu model üzerinde belirtiniz. Bu parçalar birleştirildiğinde yeni dalı temsil eden farklı bir model çiziniz. Toplam uzunluğun nasıl bulunacağını model üzerinden açıklayarak bir çözüm stratejisi belirleyiniz.
Kısa Cevap: Birinci dal 43 m, ikinci dal 3721 m uzunluğunda şeritlerle gösterilir. Birleşik modelde iki şerit 25 m üst üste bindirilir. Strateji: iki dalın uzunlukları toplanır, üst üste binen 25 m çıkarılır.
Cevap: Birinci dal 43 metrelik, ikinci dal 43+37 = 3721 metrelik birer şeritle modellenir.
Bu iki parça, uçlarından 25 metrelik bir kısım üst üste binecek şekilde birleştirilerek yeni (daha uzun) dal modellenir.
Çözüm stratejisi: Modelde üst üste binen kısım iki şeritte de sayıldığı için iki dal uzunluğu toplanır, üst üste binen 25 metrelik kısım bir kez çıkarılır.
c) Belirlediğiniz çözüm stratejisine uygun işlemleri yazınız ve problemi çözünüz.
Kısa Cevap: 43+3721–25 = 283105 = 2 73105 metre
Cevap: Birinci dal 1 13 = 43 metre. İkinci dal 43+37 = 2821+921 = 3721 metre. İki dal toplamı: 43+3721 = 2821+3721 = 6521 metre. Üst üste gelen 25 metre çıkarılır: 6521–25. Ortak payda 105: 6521 = 325105, 25 = 42105. 325105–42105 = 283105 metre, yani 2 73105 metre.
ç) Problemi farklı çözüm stratejileri kullanarak nasıl çözebileceğinizi arkadaşlarınızla tartışınız. Farklı stratejiler arasından birini seçerek problemi bu strateji ile çözünüz.
Kısa Cevap: Birinci dalın üst üste gelmeyen kısmı (43–25 = 1415) ikinci dalın tamamına eklenir: 1415+3721 = 283105 metre.
Cevap: Alternatif strateji olarak önce birinci dalın üst üste gelmeyen kısmı bulunup ikinci dalın tamamına eklenebilir: 43–25 = 2015–615 = 1415 (örtüşmeyen kısım). Buna ikinci dalın tamamı (3721) eklenir: 1415+3721, ortak payda 105: 98105+185105 = 283105 metre. Bu da bir önceki şıkla aynı sonucu (2 73105 metre) doğrular.
d) İki dal parçası birleştirildiğinde toplam uzunluğun 3 metre olması için dal parçalarının kaç metrelik kısımlarının üst üste gelmesi gerektiğini bulunuz.
Kısa Cevap: 6521-3 = 6521–6321 = 221 metrelik kısımların üst üste gelmesi gerekir.
Cevap: İki dalın uzunlukları toplamı 6521 metredir. Toplam uzunluk 3 metre = 6321 metre olacaksa üst üste gelen kısım: 6521–6321 = 221 metre olmalıdır.
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 88 Cevapları Birinci Kitap
Düşün-tartış-açıkla 24
Köstebekler yaşamlarının büyük bölümünü yer altında geçiren canlılardır. Güçlü ön ayakları sayesinde toprağı hızla kazarak besin ararlar ve yuva yapacakları tüneller açarlar.
Bir köstebeğin kazı sırasında dakikada 325 metre derine indiği ve 4 dakika boyunca sabit hızla kazdığı bilinmektedir.
Buna göre 4 dakika sonunda bu köstebeğin yer seviyesine göre konumunu bulmak için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Köstebeğin yer seviyesinin altındaki 325 metrelik aşağı yönlü hareketine karşılık gelen rasyonel sayıyı yazınız.
Kısa Cevap: Bu harekete karşılık gelen rasyonel sayı -325‘tir.
Cevap: Köstebeğin aşağı yönlü hareketi yer seviyesinin altına doğru olduğu için negatif kabul edilir, bu harekete karşılık gelen rasyonel sayı -325‘tir.
b) Köstebeğin her bir dakikadaki 325 metrelik aşağı yönlü hareketini yandaki dikey sayı doğrusu üzerinde oklarla gösteriniz.
Kısa Cevap: Sıfırdan başlayarak 4 kez -325‘lik aşağı yönlü ok çizilir: -325, -625, -925, -1225 noktalarına varılır.
Cevap: Köstebek her dakika 325 metre aşağı indiği için yer seviyesinden (0) başlayarak art arda 4 tane -325‘lik ok çizilir: 0 → -325 → -625 → -925 → -1225.
c) Köstebeğin 4 dakika kazdıktan sonra yer seviyesine göre konumunu bulmak için yapmanız gereken işlemi yazınız ve daha önce öğrendiğiniz kesirlerde çarpma işleminden yararlanarak işlemin sonucunu bulunuz. Bu sonucun işaretini belirlemek için tam sayılarda çarpma kurallarından nasıl yararlandığınızı açıklayınız.
Kısa Cevap: İşlem 4.(-325) = -1225‘tir. Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı negatif olduğu için sonuç negatiftir.
Cevap: Köstebeğin konumunu bulmak için 4.(-325) işlemi yapılır. Kesirlerde çarpmada tam sayı pay ile çarpılır: 4.325 = 1225. Sonucun işareti tam sayılarda olduğu gibi belirlenir: pozitif ile negatifin çarpımı negatif olduğundan sonuç -1225‘tir. Köstebek yer seviyesinin 1225 metre altındadır.
ç) Aşağıdaki işlemlerin çarpanlarını inceleyiniz. Bu işlemlerdeki benzerlik ve farklılıkları açıklayınız. Kesirler ve tam sayılarla ilgili daha önce öğrendiğiniz bilgilerden yararlanarak işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
4.325 =
(-4).(-325) =
4.(-325) =
(-4).325 =
Kısa Cevap:
4.325 = 1225
(-4).(-325) = 1225
4.(-325) = -1225
(-4).325 = -1225
Çarpanların mutlak değerleri aynı olduğu için sonuçların mutlak değeri hep 1225‘tir; sonuçların işareti çarpanların işaretine göre değişir.
Cevap: 4.325 = 1225 (ikisi de pozitif → pozitif). (-4).(-325) = 1225 (ikisi de negatif → pozitif). 4.(-325) = -1225 (biri pozitif biri negatif → negatif). (-4).325 = -1225 (biri negatif biri pozitif → negatif). Dört işlemde de çarpılan sayıların mutlak değerleri (4 ve 325) aynıdır, bu yüzden sonuçların mutlak değeri hep 1225‘tir. Farklılık, çarpanların işaretlerine göre sonucun işaretinin değişmesidir; aynı işaretli çarpanların çarpımı pozitif, farklı işaretli çarpanların çarpımı negatif olur (tam sayılardaki kuralın aynısı).
7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 89 Cevapları Birinci Kitap
d) Sabit hızla 5 dakika boyunca kazı yapan köstebeğin son konumunu belirlerken kullanılabilecek iki farklı çözüm yolu aşağıda verilmiştir. Bu çözüm yolları arasındaki farklılıkları açıklayınız ve hangi çözüm yolunun daha kullanışlı olduğunu arkadaşlarınızla tartışınız.
1. Çözüm Yolu: (Çarpma işleminden sonra elde edilen sonucun pay ve paydası sadeleştirilir.)
5.(-325) = 51.(-325)
= -1525
= -35
2. Çözüm Yolu: (Çarpma işlemi sırasında pay ve payda arasında uygun sadeleştirme yapılır.)
5.(-325) = 51.(-325)
= 11.(-35) (5 ile 25, 5’e bölünerek sadeleştirildi)
= -35
Kısa Cevap: İkisi de -35 sonucunu verir. 1. yol önce çarpıp sonra sadeleştirir, 2. yol çarpmadan önce sadeleştirir; 2. yol daha küçük sayılarla çalıştığı için daha kullanışlıdır.
Cevap: 1. Çözüm Yolu önce çarpıp sonra sonucu sadeleştirir, bu yüzden -1525 gibi daha büyük sayılarla işlem yapılır. 2. Çözüm Yolu ise çarpma işlemi sırasında (5 ile 25 arasında) sadeleştirme yapar, daha küçük sayılarla işlem yapılmasını sağlar. İkisi de -35 sonucunu verir ama 2. Çözüm Yolu daha kullanışlıdır çünkü büyük sayılarla uğraşmayı önler ve işlemi kolaylaştırır.
e) Sabit hızla 7 12 dakika boyunca kazı yapan köstebeğin yer seviyesine göre konumunu ifade edecek işlemi yazınız. Bu işlemin nasıl yapılacağını arkadaşlarınızla tartışınız ve sonucu bulunuz.
Kısa Cevap: 7 12.(-325) = 152.(-325) = -910; köstebek yer seviyesinin 910 metre altındadır.
Cevap: Köstebeğin konumunu bulmak için 7 12.(-325) işlemi yapılır. Önce tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilir: 7 12 = 152. Çarpma sırasında 15 ile 25, 5’e bölünerek sadeleştirilir: 152.(-325) = 32.(-35) = -910. Köstebek yer seviyesinin 910 metre altındadır.
Uygulayalım 47
Aşağıdaki tabloda gerçek yaşam durumları içeren bazı sözel ifadeler ile bu ifadelere karşılık gelen işlemler ve sonuçları verilmiştir. Tablodaki örnekten yola çıkarak boş bırakılan yerleri doldurunuz.
a) Alanı 16 m² olan bir halının 38‘ine yeni desen işlenmiştir. Halının desen işlenen alanı kaç m²dir? (İşlem: 16.38; Sonuç: 6)
b) Bir bahçenin 47‘lik bölümünün 35‘ine çiçek ekilmiştir. Buna göre bahçenin çiçek ekilen bölümü, tamamının kaçta kaçıdır? (İşlem: ……; Sonuç: ……)
c) Bir kimyasal karışım kontrollü bir soğutma işlemine alınmıştır. Bu işlem sırasında karışımın sıcaklığı her bir dakikada -54 °C değişmektedir. Karışımın sıcaklığı 32 dakika boyunca sabit hızla azaltıldığına göre toplam sıcaklık değişimi kaç °C olur? (İşlem: ……; Sonuç: ……)
ç) Bir havuzdaki su seviyesi havuzun gideri açıldığında saatte 18 metre azalmaktadır. Gider 52 saat açık kaldığında su seviyesindeki toplam değişimi ifade eden rasyonel sayı nedir? (İşlem: ……; Sonuç: ……)
Kısa Cevap:
b) İşlem: 47.35; Sonuç: 1235
c) İşlem: 32.(-54); Sonuç: -158
ç) İşlem: 52.(-18); Sonuç: -516
Cevap:
b) Bahçenin 47‘lik bölümünün 35‘i, bu iki kesrin çarpımıdır: 47.35 = 4 . 37 . 5 = 1235. Çiçek ekilen bölüm bahçenin tamamının 1235‘idir.
c) Sıcaklık her dakika -54 °C değiştiğine göre 32 dakikadaki toplam değişim: 32.(-54) = 3 . (-5)2 . 4 = -158 °C olur.
ç) Su seviyesi saatte 18 metre azaldığı için saatlik değişim -18 metredir. 52 saatteki toplam değişim: 52.(-18) = -516 metre olur.
