7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 94-95-96-97 Cevapları

Rasyonel Sayılarla İşlemler ve Problem Çözme Cevapları

1. Tema- Sayılar ve Nicelikler (1): Çarpmanın özelliklerini tarla, kart ve robot süpürgeli halı problemlerinde kullanıyor, ikiye bölünen bakterilerle zıplayan topun yüksekliklerinden yola çıkarak üslü ifadelerle ilk kez tanışıyoruz.

Önceki Sayfalar: 90-91-92-93

Sonraki Sayfalar: 99-100-101

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 94 Cevapları Birinci Kitap

Bilgi Kutusu

• Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yapılırken çarpılan sayıların yer değiştirmesi sonucu değiştirmez. Buna rasyonel sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği denir.
• İkiden fazla rasyonel sayı çarpılırken, sayılardan herhangi ikisinin önce çarpılması sonucu değiştirmez. Buna rasyonel sayılarda çarpma işleminin birleşme özelliği denir.
• Bir rasyonel sayının “1” ile çarpımı o rasyonel sayının kendisine eşittir. Buna rasyonel sayılarda çarpma işleminin etkisiz eleman özelliği denir.
• Bir rasyonel sayının “0” ile çarpımı 0’dır. Buna rasyonel sayılarda çarpma işleminin yutan eleman özelliği denir.
• Çarpımları “1” olan iki rasyonel sayı çarpma işlemine göre birbirinin tersidir. Buna rasyonel sayılarda çarpma işleminin ters eleman özelliği denir.
  27.72 = 1
  (-179).(-917) = 1
  (-15).(-5) = 1
• Bir rasyonel sayının, iki rasyonel sayının toplamı veya farkı ile çarpımı; bu sayıların her biriyle ayrı ayrı çarpımlarının toplamı veya farkına eşittir. Buna rasyonel sayılarda çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği denir.
  4.[5+(-2)] = 4.5+4.(-2)
  [(-3)-(-6)].2 = 2.(-3)-2.(-6)
  (-52).(23–14) = (-52).23-(-52).14
  (-15+23).34 = 34.(-15)+34.23

Uygulayalım 49

1) Mustafa Bey yandaki görselde bazı uzunlukları verilen dikdörtgen biçimindeki tarlasının bir kısmına elma ağaçları, kalan kısmına ise domates fideleri dikmiştir.
Görseldeki bilgilere göre Mustafa Bey’in dikim yaptığı toplam alanı çarpma işleminin dağılma özelliğinden yararlanarak bulunuz.
(Görsel: tarlanın bir kenarı 274 metre; diğer kenarı elma ağaçlarının dikildiği 92 metrelik ve domates fidelerinin dikildiği 103 metrelik iki bölümden oluşuyor.)

Kısa Cevap: 274.(92+103) = 274.92+274.103 = 2438+452 = 4238 m², yani 52 78 m²’dir.

Cevap: Toplam alan 274.(92+103) işlemiyle bulunur. Dağılma özelliğine göre elma ağaçlarının ve domates fidelerinin alanları ayrı ayrı bulunup toplanır: 274.92+274.103 = 2438+27012 = 2438+452 = 2438+1808 = 4238 metrekare, yani 52 78 m²‘dir.

2) Yandaki kartların her birinin ön yüzünde ve arka yüzünde yazan rasyonel sayıların çarpımı, çarpma işleminin etkisiz elemanına eşittir.
(Kartların ön yüzlerinde yazan sayılar: -43 ; 3 ; 18 ; 27 ; -14)
Buna göre kartların arka yüzlerinde yazan rasyonel sayıların çarpımını bulunuz. Çarpma işlemini daha kolay yapabilmek için işlem özelliklerinden hangilerini kullanabileceğinizi açıklayınız.

Kısa Cevap: Arka yüzlerde ön yüzlerdeki sayıların çarpma işlemine göre tersleri yazar: -34 ; 13 ; 8 ; 72 ; -114. Değişme ve birleşme özellikleriyle gruplanırsa çarpımları 12 bulunur.

Cevap: Her kartın iki yüzündeki sayıların çarpımı etkisiz eleman olan 1’e eşit olduğu için arka yüzdeki sayı, ön yüzdeki sayının çarpma işlemine göre tersidir (ters eleman özelliği). Arka yüzlerde -34, 13, 8, 72 ve -114 yazar. Değişme ve birleşme özellikleriyle kolay sadeleşen sayılar yan yana getirilip önce çarpılır:
((-34).8).13.(72.(-114)) = (-6).13.(-14) = (-2).(-14) = 12
Kontrol: Ön yüzlerin çarpımı (-43).3.18.27.(-14) = 2’dir; 2 ile 12‘nin çarpımı 1 olduğundan sonuç doğrudur.

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 95 Cevapları Birinci Kitap

Problem 6

Çiğdem Hanım, dikdörtgen şeklindeki salonuna dikdörtgen şeklindeki bir halıyı salonun kısa ve uzun kenarlarından belirli boşluklar bırakarak sermiştir. Yandaki görselde salonun kenar uzunlukları ile bırakılan boşlukların uzunlukları verilmiştir.
(Görsel: salonun uzun kenarı 274 metre, kısa kenarı 143 metre; uzun kenar boyunca halının üstünde ve altında 1 12‘şer metre, kısa kenar boyunca halının solunda ve sağında 1’er metre boşluk var.)

Çiğdem Hanım temizlik yaparken robot süpürgesini yalnızca halıyı süpürmesi için ayarlamıştır. Halının 35‘ini süpürdükten sonra şarjı biten robot süpürge şarj istasyonuna dönmüş ve şarj olduktan sonra halının kalan kısmının 34‘ünü süpürmüştür. Son durumda halının süpürülmeyen kısmı kaç metrekaredir?

Problemi çözebilmek için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Problemde verilen nicelikleri inceleyiniz ve aralarındaki ilişkileri belirleyiniz. Halının ölçülerini bulmak için bu niceliklerden nasıl yararlanabileceğinizi tartışarak açıklayınız.

Kısa Cevap: Salonun kenar uzunluklarından, o kenar boyunca halının iki yanında bırakılan boşlukların toplamı çıkarılarak halının kenar uzunlukları bulunur.

Cevap: Boşluklar halının her iki yanında da bulunduğu için halının her bir kenar uzunluğu, salonun o yöndeki kenar uzunluğundan boşluk uzunluğunun 2 katının çıkarılmasıyla bulunur: uzun kenardan 2 tane 1 12 metre, kısa kenardan 2 tane 1 metre çıkarılır.

b) Verilen bilgilere göre halının ölçülerini bulunuz.

Kısa Cevap: Halının uzun kenarı 274-3 = 154 metre, kısa kenarı 143-2 = 83 metredir.

Cevap: Halının uzun kenarı: 274-2.32 = 274-3 = 274–124 = 154 metre. Halının kısa kenarı: 143-2.1 = 143–63 = 83 metredir.

c) Robot süpürgenin şarjdan sonra süpürdüğü kısmın halının kaçta kaçı olduğunu nasıl bulabileceğinizi açıklayınız. Şarjdan önce ve sonra halının süpürülen kısımlarını bir model üzerinde temsil ediniz. Modelden yararlanarak süpürülmeyen kısmın halının kaçta kaçı olduğunu belirleyiniz.

Kısa Cevap: Şarjdan sonra kalan 25‘lik kısmın 34‘ü süpürülür: 25.34 = 310. Modelde halı 20 eş parçaya bölünür; 12 parça şarjdan önce, 6 parça şarjdan sonra süpürülür, 2 parça kalır. Süpürülmeyen kısım halının 220 = 110‘udur.

Cevap: Şarjdan önce halının 35‘i süpürülmüş, geriye 25‘lik kısım kalmıştır. Şarjdan sonra bu kalan kısmın 34‘ü süpürüldüğü için şarjdan sonra süpürülen kısım halının 25.34 = 620 = 310‘udur.
Model: Halı 5 ve 4’ün ortak katı olan 20 eş parçaya bölünür. Şarjdan önce süpürülen 35 = 1220 pembe, şarjdan sonra süpürülen 620 yeşil gösterilmiştir; beyaz kalan 2 parça süpürülmeyen kısımdır.

Süpürülen kısım 1220+620 = 1820, süpürülmeyen kısım 1-1820 = 220 = 110‘dur.

ç) Modelden yola çıkarak bir çözüm stratejisi belirleyiniz. Bu stratejiyi uygulamak için gereken işlemleri yazarak problemi çözünüz. Çözümünüzü model kullanmadan farklı bir strateji ile çözünüz ve iki sonucu karşılaştırınız.

Kısa Cevap: Halının alanı 154.83 = 10 m²; süpürülmeyen kısım 10.110 = 1 m²’dir. Farklı stratejiyle: süpürülen alan 6+3 = 9 m², süpürülmeyen alan 10-9 = 1 m². İki sonuç aynıdır.

Cevap: Modelden yola çıkan strateji: Halının alanı 154.83 = 12012 = 10 m²‘dir. Süpürülmeyen kısım halının 110‘u olduğuna göre 10.110 = 1 m²‘dir.
Model kullanmadan farklı strateji: Şarjdan önce 10.35 = 6 m² süpürülür, geriye 10-6 = 4 m² kalır. Şarjdan sonra 4.34 = 3 m² süpürülür. Süpürülmeyen kısım 4-3 = 1 m² olur.
İki strateji de aynı sonuca (1 m²) ulaştırır.

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 96 Cevapları Birinci Kitap

Düşün-tartış-açıkla 27

Tükettiğimiz besinlerle doğrudan etkileşim halinde olan bakteriler, vücudumuzda ve gıdaların dönüşümünde önemli roller üstlenir. Özellikle karbonhidratları enerji kaynağı olarak kullanan faydalı bakteriler, uygun ortam bulduklarında hızla çoğalarak bulundukları yapının özelliklerini değiştirebilir. Ev yapımı turşu ve yoğurt gibi probiyotik besinler, insan sağlığı için yararlı bakteriler içermeleriyle bu sürece iyi birer örnek oluşturur. (Genel ağdan alınmıştır.)

Laboratuvar ortamında incelenen bir bakterinin her 30 dakikada bir bölündüğü ve sayısının iki katına çıktığı bilinmektedir.

Buna göre başlangıçta bu bakteriden 1 adet olan bir ortamda 3 saat sonra kaç adet bakteri oluşacağını bulmak için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Bakteri sayısının her 30 dakikada bir nasıl değiştiğini göz önüne alarak, her 30 dakikalık süre sonunda oluşan bakteri sayısını nasıl bulabileceğinizi açıklayınız.

Kısa Cevap: Her 30 dakikalık süre sonunda bir önceki bakteri sayısı 2 ile çarpılarak yeni bakteri sayısı bulunur.

Cevap: Her 30 dakikalık süre sonunda oluşan bakteri sayısı, bir önceki 30 dakikanın sonundaki bakteri sayısı 2 ile çarpılarak bulunur, çünkü bakteri sayısı her bölünmede iki katına çıkmaktadır.

b) Aşağıdaki tabloyu örneklerden yola çıkarak doldurunuz ve 3 saatin sonunda oluşacak bakteri sayısını bulunuz.

Kısa Cevap:
90 dakika: 2.2.2 = 8
120 dakika: 2.2.2.2 = 16
150 dakika: 2.2.2.2.2 = 32
180 dakika: 2.2.2.2.2.2 = 64
3 saatin (180 dakikanın) sonunda 64 adet bakteri oluşur.

Cevap: Her 30 dakikada bir önceki sayı 2 ile çarpılarak tablo doldurulur. 3 saat 180 dakikadır; 180 dakikanın sonunda 64 adet bakteri oluşur.

c) Bakteri sayısının 3 saatin sonunda kaç adet olacağını bulmak için yapılacak işlemi kısaca nasıl ifade edebileceğinizi arkadaşlarınızla tartışınız ve bu ifadeyi yazınız.

Kısa Cevap: 2.2.2.2.2.2 işlemi kısaca 2⁶ (2’nin 6. kuvveti) şeklinde ifade edilir, değeri 64’tür.

Cevap: 3 saat, 30 dakikalık 6 dilimden oluştuğu için 2, kendisiyle 6 kez çarpılır. Bu işlem kısaca 2⁶ (2 üssü 6) üslü ifadesiyle gösterilir, değeri 64‘tür.

ç) Üç saatin sonunda oluşacak bakteri sayısını tablo kullanmadan bulabilmek için yapılması gereken işlemleri açıklayınız. Başlangıçtan 300 dakika sonra ortamda oluşacak bakteri sayısını benzer şekilde ifade ediniz.

Kısa Cevap: Geçen süre 30’a bölünerek bölünme sayısı bulunur ve 2 bu sayı kadar kendisiyle çarpılır: 180÷30 = 6 olduğundan 2⁶ = 64. 300÷30 = 10 olduğundan 300 dakika sonra 2¹⁰ = 1024 adet bakteri oluşur.

Cevap: Tablo kullanmadan bulmak için geçen süre 30 dakikaya bölünerek kaç bölünme olduğu bulunur, sonra 2 sayısının bu kadar kuvveti alınır. 3 saat = 180 dakika, 180÷30 = 6 olduğundan bakteri sayısı 2⁶ = 64’tür. 300 dakika için 300÷30 = 10 bölünme olur, bu yüzden bakteri sayısı 2¹⁰ = 1024 adet olur.

7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 97 Cevapları Birinci Kitap

Düşün-tartış-açıkla 28

Bir top belirli bir yükseklikten bırakılmış ve yere çarptıktan sonra bırakıldığı yüksekliğin 12‘si kadar yükselmiştir. Topun yere her çarpıştan sonra ulaştığı yükseklik, bir önceki yüksekliğin yarısı olacak şekilde düzenli olarak devam etmektedir.

Top, 4 kez yere çarpıp yükseldiğine göre bu çarpmaların her birinde topun ulaştığı yüksekliklerin, ilk bırakılan yüksekliğin kaçta kaçı olduğunu belirlemek için aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Topun bir kez yere çarptıktan sonra ulaştığı yüksekliğin, bırakıldığı yüksekliğin kaçta kaçı olduğunu ifade eden rasyonel sayıyı yazınız.

Kısa Cevap: Topun ulaştığı yükseklik, bırakıldığı yüksekliğin 12‘sidir.

Cevap: Top yere bir kez çarptıktan sonra bırakıldığı yüksekliğin 12‘si kadar yükseldiği için bu oran 12 ile ifade edilir.

b) Topun iki kez yere çarptıktan sonra ulaştığı yüksekliğin, bırakıldığı ilk yüksekliğin kaçta kaçı olduğunu ifade eden işlemi yazınız.

Kısa Cevap: İşlem 12.12 = (12)² = 14‘tür.

Cevap: Top her çarpışta bir önceki yüksekliğin yarısına ulaştığı için iki kez çarptıktan sonraki oran 12.12 = (12)² = 14‘tür.

c) Topun üçüncü ve dördüncü kez yere çarptıktan sonra ulaştığı yüksekliklerin, bırakıldığı ilk yüksekliğin kaçta kaçı olduğunu ifade eden işlemi, üslü gösterimini ve değerini tabloya örnekteki gibi yazınız.

Kısa Cevap:
3. çarpma: 12.12.12 = (12)³ = 18
4. çarpma: 12.12.12.12 = (12)⁴ = 116

Cevap: 3. çarpma: işlem 12.12.12, üslü gösterimi (12)³, değeri 18‘dir. 4. çarpma: işlem 12.12.12.12, üslü gösterimi (12)⁴, değeri 116‘dır.

ç) Yaptığınız işlemleri dikkate alarak topun dokuzuncu kez yere çarpması durumunda ulaşılan son yüksekliğin başlangıçtaki yüksekliğinin kaçta kaçı olduğunu gösteren üslü ifadeyi yazınız.

Kısa Cevap: Dokuzuncu çarpmadan sonra oran (12)⁹ = 1512‘dir.

Cevap: Top her çarpışta bir önceki yüksekliğin yarısına ulaştığı için her çarpmada 12 ile bir kez daha çarpılır ve üs 1 artar. 9. çarpmadan sonraki oran (12)⁹ ile ifade edilir, değeri 1512‘dir.

Sonraki Ödevler

• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 99-100-101 Cevapları 1. Kitap
• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 102-103-104 Cevapları 1. Kitap
• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 105-106-107 Cevapları 1. Kitap
• 7. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 108-109-110-111 Cevapları 1. Kitap